Теорема Пенлеве

Теорема Пенлеве — утверждение о свойствах решений дифференциальных уравнений первого порядка в комплексной области. Доказана французским математиком Полем Пенлеве в 1887 году^[1][2]

Формулировка

Уравнения первого порядка ${\displaystyle P(w^{'},w,z)=0}$, алгебраические относительно неизвестной функции и её производной (то есть ${\displaystyle P}$ — многочлен относительно ${\displaystyle w}$ и ${\displaystyle w^{'}}$ и аналитическая функция от ${\displaystyle z}$), не могут иметь в интегралах подвижных трансцендентных и существенно особых точек.

Пояснения

Особой точкой называется точка, где нарушается аналитичность функции комплексного переменного^[3]. Существенно особой точкой называется особая точка, если есть пути, ведущие к ней, вдоль которых функция не стремится к определённому пределу ^[4]. Особая точка называется трансцендентной, если область неопределенности состоит из одной точки и существенно особой, если область неопределенности состоит не из одной точки^[4]. Особая точка интеграла, положение которой не зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется неподвижной особой точкой и особая точка, положение которой зависит от начальных данных, определяющих интеграл, называется подвижной особой точкой ^[5].

Доказательство

Доказательство теоремы Пенлеве занимает три страницы в книге ^[6].

См. также

• Уравнение Брио и Буке
• Подвижная особенность