Теорема Пикара (дифференциальные уравнения)

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пикара.

Теорема Пикара (теорема Пикара — Линделёфа, теорема Коши — Липшица) — основная теорема обыкновенных дифференциальных уравнений; приводит достаточные условия для существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle y'=f_{t}(y)}$ — обыкновенное дифференциальное уравнение, где ${\displaystyle y=y(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle f_{t}(y)}$ — векторное поле зависящее от параметра ${\displaystyle t}$. Если отображение ${\displaystyle (t,y)\mapsto f_{t}(y)}$ непрерывно и для любого фиксированного ${\displaystyle t}$, и отображение ${\displaystyle y\mapsto f_{t}(y)}$ — липшицево, то для любого ${\displaystyle y_{0}}$ существует ${\displaystyle \varepsilon >0}$ такое, что на промежутке ${\displaystyle [t_{0}-\varepsilon ,t_{0}+\varepsilon ]}$ существует решение уравнения с начальными данными ${\displaystyle y(0)=y_{0}}$.

Замечания

• Верна также локальная версия теоремы.

О доказательстве

Обычно в доказательстве применяется теорема Банаха о неподвижной точке к интегральной формы уравнения:

${\displaystyle y(t)-y(t_{0})=\int \limits _{t_{0}}^{t}f(s,y(s))ds}$

Вариации и обобщения

• Теорема Осгуда о единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения

Ссылки

• Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:МЦНМО, 2018—344 с.
• Lindelöf, E. (1894). Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre. Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 118: 454–7. (В этой публикации Э. Линделёф обсуждает обобщение подхода, предложенного ранее Э. Пикаром.)