Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Теорема Ролля

Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) — теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что

Если вещественная функция , непрерывная на отрезке и дифференцируемая на интервале , принимает на концах отрезка одинаковые значения , то на интервале найдётся хотя бы одна точка , в которой производная функции равна нулю: .

Remove ads

Доказательство

Thumb
Геометрический смысл теоремы Ролля
Thumb
Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на , то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Remove ads

Геометрический и физический (механический) смысл

С геометрической точки зрения теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдётся точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Механический смысл теоремы в том, что если некоторое тело в начальный и конечный моменты времени находилось в одной точке пространства, а между ними двигалось по прямой (или, иначе говоря, в одномерном пространстве), то хотя бы в один момент времени между ними его скорость была равна нулю (в простейшем случае оно двигалось в одном направлении, потом остановилось и двинулось в противоположном).

Remove ads

Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримеры

Все условия теоремы — непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка — существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.

Следствия

  • Если дифференцируемая функция обращается в нуль в различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в различных точках[1], причём эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.
  • Если все корни многочлена -й степени действительные, то и корни всех его производных до включительно — также исключительно действительные.
  • Теорема Лагранжа: дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.
Remove ads

См. также

Примечания

Литература

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads