Теорема Ролля

Теорема Ро́лля (теорема о нуле производной) — теорема математического анализа, входящая, вместе с теоремами Лагранжа и Коши, в число так называемых «теорем о среднем значении». Теорема утверждает, что

Если вещественная функция ${\displaystyle f(x)}$, непрерывная на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и дифференцируемая на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, принимает на концах отрезка ${\displaystyle [a,b]}$ одинаковые значения ${\displaystyle f(a)=f(b)}$, то на интервале ${\displaystyle (a,b)}$ найдётся хотя бы одна точка ${\displaystyle c}$, в которой производная функции равна нулю: ${\displaystyle f'(c)=0}$.

Доказательство

Геометрический смысл теоремы Ролля

Следствие теоремы Ролля: между каждыми двумя последовательными корнями многочлена лежит корень его производной

Если функция на отрезке постоянна, то утверждение очевидно, поскольку производная функции равна нулю в любой точке интервала.

Если же нет, поскольку функция непрерывна на ${\displaystyle [a,b]}$, то согласно теореме Вейерштрасса, она принимает своё наибольшее или наименьшее значение в некоторой точке интервала, то есть имеет в этой точке локальный экстремум, и по лемме Ферма производная в этой точке равна 0.

Геометрический и физический (механический) смысл

С геометрической точки зрения теорема утверждает, что если ординаты обоих концов гладкой кривой равны, то на кривой найдётся точка, в которой касательная к кривой параллельна оси абсцисс.

Механический смысл теоремы в том, что если некоторое тело в начальный и конечный моменты времени находилось в одной точке пространства, а между ними двигалось по прямой (или, иначе говоря, в одномерном пространстве), то хотя бы в один момент времени между ними его скорость была равна нулю (в простейшем случае оно двигалось в одном направлении, потом остановилось и двинулось в противоположном).

Существенность условий теоремы и соответствующие контрпримеры

Все условия теоремы — непрерывность функции на отрезке, дифференцируемость на интервале и равенство значений на концах отрезка — существенны. При исключении каждого из этих условий легко подобрать контрпример, свидетельствующий, что заключение теоремы становится неверным.

Следствия

• Если дифференцируемая функция обращается в нуль в ${\displaystyle n}$ различных точках, то её производная обращается в нуль по крайней мере в ${\displaystyle n-1}$ различных точках^[1], причём эти нули производной лежат в выпуклой оболочке нулей исходной функции. Это следствие легко проверяется для случая действительных корней, однако имеет место и в комплексном случае.
• Если все корни многочлена ${\displaystyle n}$-й степени действительные, то и корни всех его производных до ${\displaystyle n-1}$ включительно — также исключительно действительные.
• Теорема Лагранжа: дифференцируемая функция на отрезке между двумя своими точками имеет касательную, параллельную секущей/хорде, проведённой через эти две точки.

См. также

• Обобщённая теорема Ролля
• Формула конечных приращений
• Теорема Коши о среднем значении