Теорема Саса

Теорема Саса — утверждение о необходимых и достаточных условиях замкнутости класса степенных функций. Была доказана Сасом в 1916 году^[1]. Играет важную роль в функциональном анализе.

Замкнутое множество функций

Множество функций ${\displaystyle \left\{f_{n}(x)\right\}}$ называется замкнутым на интервале ${\displaystyle (a,b)}$, если из условия ${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)f_{n}(x)dx=0,n=1,2,...}$ следует, что ${\displaystyle f(x)}$ обращается в нуль всюду, кроме множества меры нуль, если только ${\displaystyle f(x)\in L^{2}}$, то есть её квадрат модуля интегрируем.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \lambda _{n}}$ - множество комплексных чисел с вещественными частями, превосходящими ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}}$. Для того, чтобы множество степенных функций ${\displaystyle \left\{x^{\lambda _{n}}\right\}}$ было замкнуто в ${\displaystyle L^{2}}$ на интервале ${\displaystyle (0,1)}$ необходимо и достаточно, чтобы ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1+2Re\lambda _{n}}{1+|\lambda _{n}^{2}|}}=\infty }$^[2].

См. также

• Lp (пространство)
• Теорема Мюнтца-Саса