Теорема Стокса

Теорема Стокса — одна из основных теорем дифференциальной геометрии и математического анализа об интегрировании дифференциальных форм, которая обобщает несколько теорем анализа. Названа в честь Дж. Г. Стокса.

Формулировка

Пусть на ориентируемом многообразии ${\displaystyle M}$ размерности ${\displaystyle n}$ заданы положительно ориентированное ограниченное ${\displaystyle p}$-мерное подмногообразие ${\displaystyle \sigma }$ (${\displaystyle 1\leqslant p\leqslant n}$) и дифференциальная форма ${\displaystyle \omega }$ степени ${\displaystyle p-1}$ класса ${\displaystyle C^{1}}$. Тогда если граница подмногообразия ${\displaystyle \partial \sigma }$ положительно ориентирована, то

${\displaystyle \int \limits _{\sigma }d\omega =\int \limits _{\partial \sigma }\omega ,}$

где ${\displaystyle d\omega }$ обозначает внешний дифференциал формы ${\displaystyle \omega }$.

Теорема распространяется на линейные комбинации подмногообразий одной размерности — так называемые цепи. В этом случае формула Стокса реализует двойственность между когомологиями де Рама и гомологиями циклов многообразия ${\displaystyle M}$.

Частные случаи

Формула Ньютона — Лейбница

Пусть дана кривая ${\displaystyle l}$ (одномерная цепь), ориентированно направленная от точки ${\displaystyle a}$ к точке ${\displaystyle b}$, в многообразии произвольной размерности. Форма ${\displaystyle \omega }$ нулевой степени класса ${\displaystyle C^{1}}$ — это дифференцируемая функция ${\displaystyle f}$. Тогда формула Стокса записывается в виде

${\displaystyle \int \limits _{l}df=\int \limits _{l}f'\,dx=\int \limits _{a}^{b}f'\,dx=f(b)-f(a).}$

Теорема Грина

Иногда называют теоремой Грина — Римана. Пусть ${\displaystyle M}$ — плоскость, а ${\displaystyle D}$ — некоторая её положительно ориентированная ограниченная область с кусочно-гладкой жордановой границей. Пусть форма первой степени, записанная в координатах ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y,}$ — это выражение ${\displaystyle L\,dx+M\,dy.}$ Тогда для интеграла от этой формы по положительно ориентированной (против часовой стрелки) границе области ${\displaystyle D}$ верно

${\displaystyle \ \int \limits _{\partial D}\left(L\,dx+M\,dy\right)=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$

Вывод из теоремы Стокса

Определяя дифференциальную форму ${\displaystyle \omega =L\,dx+M\,dy}$, найдём её внешний дифференциал:

${\displaystyle d\omega =\left({\dfrac {\partial L}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dx+\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx+{\dfrac {\partial M}{\partial y}}\,dy\right)\wedge dy.}$

Принимая во внимание, что ${\displaystyle dx\wedge dx=0}$ и ${\displaystyle dy\wedge dy=0}$:

${\displaystyle d\omega ={\underset {-{\frac {\partial L}{\partial y}}\,dx\,\wedge \,dy}{\underbrace {{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\,dy\wedge dx} }}+{\dfrac {\partial M}{\partial x}}\,dx\wedge dy=\left({\dfrac {\partial M}{\partial x}}-{\dfrac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.}$

Отсюда используя теорему Стокса:

${\displaystyle \int \limits _{\partial D}L\,dx+M\,dy=\iint \limits _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy.}$

Независимое доказательство формулы Грина приведено в её основной статье.

Формула Кельвина — Стокса

Часто называется просто формулой Стокса. Пусть ${\displaystyle \Sigma }$ — кусочно-гладкая поверхность (${\displaystyle p=2}$) в трёхмерном евклидовом пространстве (${\displaystyle n=3}$), ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — дифференцируемое векторное поле. Тогда циркуляция векторного поля вдоль замкнутого контура ${\displaystyle \partial \Sigma }$ равна потоку ротора (вихря) поля через поверхность ${\displaystyle \Sigma }$, ограниченную контуром:

${\displaystyle \int \limits _{\Sigma }\mathrm {rot} \,\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{\partial \Sigma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} ,}$

или в координатной записи:

${\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz.}$

Часто в правой части пишут интеграл по замкнутому контуру.

Вывод из теоремы Стокса

Рассмотрим дифференциальную форму ${\displaystyle \omega =P\,dx+Q\,dy+R\,dz}$. Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы ${\displaystyle d(\omega _{F}^{1})=\omega _{\mathrm {rot} \,F}^{2}}$:

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\wedge dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\wedge dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\wedge dy.}$

Отсюда, используя теорему Стокса:

${\displaystyle \iint \limits _{\Sigma }\left({\frac {\partial R}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial z}}\right)\,dy\,dz+\left({\frac {\partial P}{\partial z}}-{\frac {\partial R}{\partial x}}\right)\,dz\,dx+\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dx\,dy=\int \limits _{\partial \Sigma }P\,dx+Q\,dy+R\,dz.}$

Доказательство с использованием формулы Грина

Пусть ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (u(t),v(t))}$. Тогда

${\displaystyle \int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\int _{\alpha }^{\beta }((\mathbf {a} (\mathbf {r} (u(t),v(t)))),r_{u}(u(t),v(t))u'(t)+r_{v}(u(t),v(t))v'(t))dt=\int _{\Omega }(a,r_{u})du+(a,r_{v})dv.}$

Отсюда, используя формулу Грина, получаем ${\displaystyle \int _{\partial \Sigma }(\mathbf {a} ,d\mathbf {r} )=\iint _{\Omega }\left[{\frac {\partial }{\partial u}}{(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{v})}-{\frac {\partial }{\partial v}}{(\mathbf {a} ,\mathbf {r} _{u})}\right]dudv={}}$

${\displaystyle {}=\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}}y_{u}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{u},\mathbf {r} _{v}\right)dudv-\iint _{\Omega }\left({\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial x}}x_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial y}}y_{v}+{\frac {\partial \mathbf {a} }{\partial z}}z_{v},\mathbf {r} _{u}\right)dudv}$ ${\displaystyle {}=\iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r} _{u},\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r} _{u},(\mathbf {r} _{v},\nabla ),\mathbf {a} )]dudv,}$ что по определению вихря и есть требуемая величина:

${\displaystyle \iint _{\Omega }[(\mathbf {r} _{v},(\mathbf {r_{u}} ,\nabla ),\mathbf {a} )-(\mathbf {r_{u}} ,(\mathbf {r_{v}} ,\nabla ),\mathbf {a} )]dudv=\iint _{\Omega }({r_{u}},{r_{v}},\operatorname {rot} \;\mathbf {a} )dudv=\iint _{\Sigma }(\operatorname {rot} \;\mathbf {a} ,\mathbf {n} )dS.}$

Формула Остроградского — Гаусса

Пусть теперь ${\displaystyle \partial V}$ — кусочно-гладкая гиперповерхность (${\displaystyle p=n-1}$), ограничивающая некоторую область ${\displaystyle V}$ в ${\displaystyle n}$-мерном пространстве. Тогда интеграл дивергенции поля по области равен потоку поля через границу области ${\displaystyle \partial V}$:

${\displaystyle \int \limits _{V}\mathrm {div} \,\mathbf {F} \,dV=\int \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } .}$

В трёхмерном пространстве ${\displaystyle (n=3)}$ с координатами ${\displaystyle \{x,y,z\}}$ это эквивалентно записи:

${\displaystyle \ \int \limits _{\partial V}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dV}$

или

${\displaystyle \iint \limits _{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz.}$

Вывод из теоремы Стокса

Рассмотрим дифференциальную форму ${\displaystyle \omega =P\,dy\wedge dz+Q\,dz\wedge dx+R\,dx\wedge dy}$. Тогда, используя свойство дифференциала дифференциальной формы ${\displaystyle d(\omega _{F}^{2})=\omega _{\mathrm {div} \,F}^{3}}$:

${\displaystyle d\omega =\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\wedge dy\wedge dz.}$

Отсюда, используя теорему Стокса:

${\displaystyle \iint \limits _{\partial V}P\,dy\,dz+Q\,dz\,dx+R\,dx\,dy=\iiint \limits _{V}\left({\frac {\partial P}{\partial x}}+{\frac {\partial Q}{\partial y}}+{\frac {\partial R}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz.}$

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления — Т. 3
• Арнольд В. И. Математические методы классической механики (djvu) (недоступная ссылка)  (недоступная ссылка с 18-05-2013 [4488 дней] — история)
• Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. — М.: Мир, 1971.

См. также

• Векторный анализ
• Дифференциальная форма
• Формулы векторного анализа
• Дифференциальные геометрия и топология