Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Стоуна.

Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве — важный результат функционального анализа, утверждающий, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде:

${\displaystyle U_{t}=e^{it{\hat {H}}}\quad t\in \mathbb {R} }$,

где ${\displaystyle {\hat {H}}}$ — некоторый самосопряженный оператор, а ${\displaystyle t}$ — параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору ${\displaystyle {\hat {H}}}$ с помощью представления Стоуна можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов.

Теорема была доказана американским математиком Маршаллом Стоуном в 1930 году и имела большое значение для становления квантовой механики, а также послужила толчком к созданию теории Купмана — фон Неймана.

Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами:

${\displaystyle \lim _{t\rightarrow t_{0}}U_{t}\xi =U_{t_{0}}\xi \quad \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\xi \in H}$

${\displaystyle U_{t+s}=U_{t}U_{s}}$.

Важность результата для физики заключается в том, что он гарантирует существование и единственность решений уравнений Шрёдингера и Лиувилля, а также сохранение нормировок волновых функций.

Ссылки

• Stone, M. H. (1930), Linear Transformations in Hilbert Space. III. Operational Methods and Group Theory, Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America, 16 (2), National Academy of Sciences: 172–175, ISSN 0027-8424
• Stone, M. H. (1932), On one-parameter unitary groups in Hilbert Space, Annals of Mathematics, 33 (3): 643–648
• K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968).