Теорема Трахтенброта

Теорема Трахтенброта — теорема о неразрешимости истинности формул логики первого порядка для конечных моделей. Была сформулирована Б. А. Трахтенбротом в 1950 году^[1]. Её следствием является существование неограниченного числа формул, выражающих условие (а, следовательно, и определение) конечности множества и среди них имеется неограниченное множество независимых.^[2] Также её следствием является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности (для любой аксиомы бесконечности найдется более слабая аксиома бесконечности)^[3].

Пояснения

Существует ряд логических формул, выражающих условие конечности множества и, следовательно, являющимися его определениями, например:

• множество конечно, если оно индуктивно;
• множество конечно, если множество всех его подмножеств нерефлексивно^[4];
• множество конечно, если оно нерефлексивно;
• множество конечно, если оно не является объединением двух непересекающихся множеств, каждое из которых эквивалентно данному множеству^[4].

Следствием теоремы Трахтеброта является существование неограниченного числа таких формул и отсутствие среди них самой слабой и самой сильной^[2].

В математической логике формула ${\displaystyle A}$ считается сильнее формулы ${\displaystyle B}$, если ${\displaystyle B}$ следует из ${\displaystyle A}$, но ${\displaystyle A}$ не следует из ${\displaystyle B}$.

Другим следствием теоремы Трахтенброта является отсутствие самой слабой аксиомы бесконечности^[3].