Теорема Фихтенгольца

Теорема Фихтенгольца — теорема об абсолютной непрерывности суперпозиции двух функций действительного переменного.

Формулировка

Если функция ${\displaystyle f(x)}$ абсолютно непрерывна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и ${\displaystyle F(y)}$ абсолютно непрерывна на отрезке, содержащем все значения ${\displaystyle f(x)}$, то для того, чтобы суперпозиция ${\displaystyle F[f(x)]}$ была абсолютно непрерывна, необходимо и достаточно, чтобы она была функцией с ограниченной вариацией.

Функция с ограниченной вариацией

Пусть функция ${\displaystyle f(x)}$ определена и конечна на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$. Разобъём отрезок на части точками ${\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<...<x_{n-1}<x_{n}=b}$. Составим для данного разбиения сумму ${\displaystyle V=\sum _{k=0}^{n-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|}$. Если точная верхняя грань множества таких сумм по всем возможным разбиениям конечна, то её называют полной вариацией функции ${\displaystyle f(x)}$ на отрезке ${\displaystyle [a,b]}$ и обозначают так: ${\displaystyle \bigvee _{a}^{b}(f)=sup\sum _{k=0}^{n-1}|f(x_{k+1})-f(x_{k})|}$, а функцию ${\displaystyle f(x)}$ называют функций с ограниченной вариацией на этом отрезке.

Литература

• Гутер Р. С., Кудрявцев Л. Д., Левитан Б. М. Элементы теории функций. — М.: Физматлит, 1963. — 244 с.