Теорема о свадьбах

Теорема о свадьбах (также теорема о мальчиках и девочках, теорема Холла) — утверждение о том, что в двудольном графе для любого натурального ${\displaystyle k}$ любые ${\displaystyle k}$ вершин одной из долей, где ${\displaystyle k}$ не превышает числа вершин доли, связаны по крайней мере с ${\displaystyle k}$ различными вершинами другой доли тогда и только тогда, когда граф разбивается на пары по первой доле.

Теорема о свадьбах

Доказана в 1935 году Филиппом Холлом.^[1]

О доказательствах

• Одно из доказательств следует немедленно из венгерского алгоритма для поиска максимального паросочетания в графе.

• Также теорема является следствием из теоремы Форда — Фалкерсона о разрезаниях транспортных сетей.

• Для случая регулярных графов степени ${\displaystyle 2^{n}}$ теорема легко выводится из существования эйлерова цикла в каждой связной компоненте графа; на этой идее можно построить доказательство для всех регулярных графов.^[2]

Вариации и обобщения

• Из теоремы о свадьбах немедленно следует, что любой регулярный двудольный граф степени ${\displaystyle r\geqslant 1}$ допускает совершенное паросочетание.

• Теорема обобщается на двудольные графы с бесконечным множеством вершин, при условии, что все вершины имеют конечную степень.

Пример бесконечного двудольного графа в котором не выполняется теорема о свадьбах

• Пример бесконечного двудольного графа, для которого теорема не верна — прямой цилиндрический стакан, который строится следующим образом: первая доля множества вершин — точки верхней окружности стакана и центр нижнего основания; вторая доля — точки окружности нижнего основания; рёбра графа — все радиусы нижнего основания и вертикальные отрезки боковой поверхности.

• теорема Татта о паросочетаниях — обобщение теоремы о свадьбах на случай произвольных конечных, но необязательно двудольных, графов.

• Теорема Кёнига — близкое утверждение, связывающее нахождение наибольшего паросочетания и наименьшего вершинного покрытия в конечных графах.