Теорема Эйлера для многогранников

Теорема Эйлера для многогранников — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle \mathrm {B} }$ — число вершин выпуклого многогранника, ${\displaystyle \mathrm {P} }$ — число его рёбер и ${\displaystyle \Gamma }$ — число граней. Тогда верно равенство

${\displaystyle \mathrm {B} -\mathrm {P} +\Gamma =2}$

Примеры для правильных многогранников:

Правильный многогранник	Вершин (В)	Рёбер (Р)	Граней (Г)	В − Р + Г
Тетраэдр	04	06	04	2
Куб	08	12	06	2
Октаэдр	06	12	08	2
Додекаэдр	20	30	12	2
Икосаэдр	12	30	20	2

Доказательство

Для начала скажем, что любой многогранник можно представить виде связного плоского графа (Полиэдральный граф), где вершины многогранника соответствуют вершинам графа, а рёбра многогранника - рёбрам графа. Теперь, если доказать теорему для связного плоского графа, то теорема будет верна для многогранников.

Рассмотрим зависимость между вершинами, рёбрами и гранями у связного плоского графа (${\displaystyle \mathrm {B} ,\mathrm {P} ,\Gamma }$).

Если удалить одно ребро, то кол-во вершин не изменится, а кол-во граней уменьшится на одну. (${\displaystyle \mathrm {B} ,\mathrm {P} -1,\Gamma -1}$).

Если удалить еще одно ребро, то кол-во вершин снова останется неизменным, а кол-во граней снова уменьшится на одну. (${\displaystyle \mathrm {B} ,\mathrm {P} -2,\Gamma -2}$).

Продолжая данный процесс, мы дойдем до случая, когда грань будет всего одна, тогда кол-во ребер уменьшится на кол-во граней с недостатком на одну единицу. (${\displaystyle \mathrm {B} ,\mathrm {P} -(\Gamma -1),1}$).

После данных преобразований, мы получили связный граф без циклов, а связный граф без циклов это - дерево.

Теперь вспомним одно из свойств дерева. Любое дерево с ${\displaystyle n}$ вершинами содержит ${\displaystyle n-1}$ ребро. То есть ${\displaystyle \mathrm {B} -\mathrm {P} =1}$. Если применить данное свойство к полученному графу, то у нас получится ${\displaystyle \mathrm {B} -(\mathrm {P} -(\Gamma -1))=1}$, сделав простейшие преобразования получим ${\displaystyle \mathrm {B} -\mathrm {P} +\Gamma =2}$.

История

В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно ${\displaystyle 360^{\circ }(\mathrm {P} -\Gamma )}$ и ${\displaystyle 360^{\circ }(\mathrm {B} -2)}$. Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.

Долгое время считалось, что соотношение Эйлера справедливо для любых многогранников. Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере^[1].

Обобщения

• Эйлерова характеристика обобщает формулу Эйлера на многогранники с любым количеством дыр и даже, в более сложном виде, на топологические пространства.
• Формула Эйлера для связного плоского графа имеет тот же вид, однако применима к любым плоским графам, а не только к тем, которые могут быть каркасами многогранников в трёхмерном пространстве.

См. также

• Список объектов, названных в честь Леонарда Эйлера