Теорема о повороте плоской кривой

Теорема о повороте плоской кривой — дифференциально геометрический вариант теоремы о сумме углов многоугольника; частный случай формулы Гаусса — Бонне. Одно из доказательств принадлежит Хайнцу Хопфу, в честь которого эта теорема иногда называется.^{[1] [2]}

Формулировка

Полный поворот (то есть интеграл ориентированной кривизны) простой плоской замкнутой гладкой регулярной кривой равен ${\displaystyle \pm 2{\cdot }\pi }$. Причём он равен ${\displaystyle +2{\cdot }\pi }$, если ограниченная область лежит слева от кривой и ${\displaystyle -2{\cdot }\pi }$ в противоположном случае.

Вариации и обобщения

• Теорема Фенхеля о повороте кривой

Замечания

Интеграл ориентированной кривизны плоской замкнутой гладкой регулярной кривой всегда кратен ${\displaystyle 2{\cdot }\pi }$. По теореме любая такая кривая с интегралом ориентированной кривизны, отличным от ${\displaystyle \pm 2{\cdot }\pi }$ должна иметь самопересечения.