Теорема об опорной гиперплоскости

Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств.

Формулировка

Если заданы замкнутое ограниченное выпуклое множество ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{m}}$ и точка ${\displaystyle z^{*}=(z_{1}^{*},z_{2}^{*},...,z_{m}^{*})\in \mathbb {R} ^{m}}$, не принадлежащая множеству ${\displaystyle C}$, то существуют такие числа ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{m},b}$, что

${\displaystyle a_{1}z_{1}^{*}+a_{2}z_{2}^{*}+...+a_{m}z_{m}^{*}=b}$

${\displaystyle a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+...+a_{m}z_{m}>b,\forall z\in C}$

Геометрически это означает, что через точку ${\displaystyle z^{*}}$ можно провести гиперплоскость так, что множество ${\displaystyle C}$ будет лежать «выше» этой гиперплоскости.

Литература

• Дж. фон Нейман. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Пер. с англ. под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.
• Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 336 с.
• Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн. [пер. с англ.] / Под ред. А.А. Корбута. – М. : Издательство «Мир», 1971. – 229 с.