Теорема об опорной гиперплоскости

Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств. Иногда называется теоремой Айдельгайта в честь её изобретателя Майера Айдельгайта^[1].

Формулировка

Если заданы замкнутое ограниченное выпуклое множество ${\displaystyle C\in \mathbb {R} ^{m}}$ и точка ${\displaystyle z^{*}=(z_{1}^{*},z_{2}^{*},...,z_{m}^{*})\in \mathbb {R} ^{m}}$, не принадлежащая множеству ${\displaystyle C}$, то существуют такие числа ${\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{m},b}$, что

${\displaystyle a_{1}z_{1}^{*}+a_{2}z_{2}^{*}+...+a_{m}z_{m}^{*}=b}$

${\displaystyle a_{1}z_{1}+a_{2}z_{2}+...+a_{m}z_{m}>b,\forall z\in C}$

Геометрически это означает, что через точку ${\displaystyle z^{*}}$ можно провести гиперплоскость так, что множество ${\displaystyle C}$ будет лежать «выше» этой гиперплоскости.