Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники

Теорема о разрезании квадрата на равновеликие треугольники гласит, что квадрат невозможно разрезать на нечётное число треугольников одинаковой площади^[1].

Разбиение квадрата на 6 равновеликих треугольников.

Теорема знаменита своим неожиданным доказательством, использующим 2-адическую норму.

История

Задача была поставлена Фредом Ричманом в «American Mathematical Monthly» в 1965 году и решена Паулем Монски в 1970 году^[2].

О доказательстве

Используя 2-адические числа, строится определённая раскраска точек единичного квадрата в три цвета.

Главные свойства раскраски состоят в следующем:

1. Площадь любого треугольника с вершинами разных цветов не может быть выражена дробью с нечётными числителем и знаменателем.
   • В частности, если бы существовало разбиение квадрата на нечётное число равновеликих треугольников, то ни один из треугольников не имел бы вершин всех трёх цветов.
2. Любая прямая окрашена ровно в два цвета.

Это и некоторые другие свойства данной раскраски приводят к противоречию с леммой Шпернера.

Вариации и обобщения

• ${\displaystyle N}$-мерный куб может быть разбит на симплексы одинакового объема, только если количество симплексов кратно ${\displaystyle N!}$^[3][4].
• Из доказательства теоремы также следует существование четырёхугольников, не допускающих разрезания на равновеликие треугольники.
• Для целого числа ${\displaystyle n\geqslant 5}$, правильный ${\displaystyle n}$-угольник допускает разрезание на ${\displaystyle m}$ равновеликих треугольников тогда и только тогда, когда ${\displaystyle m}$ делится на ${\displaystyle n}$^[5].
• Никакой зоногон не может быть разрезан на нечётное количество равных по площади треугольников. Этот факт был доказан тем же Паулем Монски после основной теоремы^[6][7].