Теорема о симплектическом верблюде

Теорема о симплектическом верблюде — одна из основных теорем в симплектической геометрии^[1]. Теорема гласит, что шар возможно вложить в цилиндр сохраняя естественную симплектическую форму, только если радиус шара не превосходит радиуса цилиндра.

История

Доказана в 1985 году Михаилом Громовым^[2]. Ян Стюарт назвал эту теорему теоремой о симплектическом верблюде, ссылаясь на библейскую притчу «удобнее верблюду пройти сквозь игольные уши, нежели богатому войти в Царствие Божие»^[3].

До появления этой теоремы было очень мало известно о геометрии симплектических преобразований. Одно простое свойство симплектоморфизма заключается в том, что он сохраняет объем^[4]. Легко видеть, что шар любого радиуса допускает вложение в цилиндр любого радиуса с сохранением объёма. Таким образом, теорема о верблюде говорит, что класс симплектических преобразований существенно меньше класса диффеоморфизмов, сохраняющих объём.

Формулировка

В пространстве

${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}=\{z=(x_{1},\ldots ,x_{n},y_{1},\ldots ,y_{n})\}}$

с симплектической формой

${\displaystyle \omega =dx_{1}\wedge dy_{1}+\ldots +dx_{n}\wedge dy_{n}}$

рассмотрим шар радиуса R

${\displaystyle B(R)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid \|z\|<R\}}$

и цилиндр радиуса r

${\displaystyle Z(r)=\{z\in \mathbb {R} ^{2n}\mid x_{1}^{2}+y_{1}^{2}<r^{2}\}.}$

Теорема о симплектическом верблюде говорит, что если мы можем найти симплектическое вложение

${\displaystyle \phi \colon B(R)\to Z(r),}$

то ${\displaystyle R\leqslant r}$.