Теорема Риса о линейном функционале

Теорема Риса о линейном функционале (теорема Риса — Фреше, теорема представлений Риса) — утверждение функционального анализа о том, что каждый линейный ограниченный функционал ${\displaystyle f}$ в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ может быть представлен через скалярное произведение с некоторым элементом, то есть существует единственный элемент ${\displaystyle y_{f}\in H}$, такой, что ${\displaystyle f(x)=\langle y_{f},x\rangle }$ для любого ${\displaystyle x\in H}$.

Кроме того, норма такого элемента равна норме функционала:

${\displaystyle \|y_{f}\|=\|f\|\mathrel {:=} \sup _{x\neq 0}\left\{\,{\tfrac {\|f(x)\|}{\|x\|}}\,\right\}}$.

Естественное следствие — множество ${\displaystyle H'}$ всех ограниченных линейных функционалов в гильбертовом пространстве ${\displaystyle H}$ также является гильбертовым пространством, сопряжённо-линейным исходному, то есть элементу ${\displaystyle \alpha f+\beta g}$ в ${\displaystyle H'}$ соответствует ${\displaystyle {\overline {\alpha }}y_{f}+{\overline {\beta }}y_{g}}$ в ${\displaystyle H}$. Также следствием результата является теорема Лакса — Мильграма, имеющая большое значение в ряде проблем существования решений эллиптических уравнений в частных производных.

Установлена Фридьешем Рисом в 1934 году.

Литература

• Иосида К. §6. Теорема Рисса о представлении линейного функционала // Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967. — С. 132—134.