Нечёткое множество

Нечёткое множество (иногда размытое^[1], туманное^[2], пушистое^[3]) — понятие, введённое Лотфи Заде в 1965 году в статье «Fuzzy Sets» в журнале Information and Control^{[англ.][4]}, в котором расширил классическое понятие множества, допустив, что характеристическая функция множества (названная Заде функцией принадлежности для нечёткого множества) может принимать любые значения в интервале ${\displaystyle [0,1]}$, а не только значения ${\displaystyle 0}$ или ${\displaystyle 1}$. Является базовым понятием нечёткой логики.

Устаревшее название: расплывчатое множество^[5][6].

Определение

Под нечётким множеством ${\displaystyle A}$ понимается совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов ${\displaystyle x}$ универсального множества ${\displaystyle X}$ и соответствующих степеней принадлежности ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$:

${\displaystyle A=\{(x,\mu _{A}(x))\mid x\in X\}}$,

причём ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ — функция принадлежности (обобщение понятия характеристической функции обычных чётких множеств), указывающая, в какой степени (мере) элемент ${\displaystyle x}$ принадлежит нечёткому множеству ${\displaystyle A}$. Функция ${\displaystyle \mu _{A}(x)\ }$ принимает значения в некотором линейно упорядоченном множестве ${\displaystyle M}$. Множество ${\displaystyle M}$ называют множеством принадлежностей, часто в качестве ${\displaystyle M}$ выбирается отрезок ${\displaystyle [0,1]}$. Если ${\displaystyle M=\{0,1\}\ }$ (то есть состоит только из двух элементов), то нечёткое множество может рассматриваться как обычное чёткое множество.

Основные определения

Пусть ${\displaystyle A}$ нечёткое множество с элементами из универсального множества ${\displaystyle X\ }$ и множеством принадлежностей ${\displaystyle M=[0,1]}$. Тогда:

• носителем (суппортом) нечёткого множества ${\displaystyle \operatorname {supp} A}$ называется множество ${\displaystyle \{x\mid x\in X,\mu _{A}(x)>0\}}$;
• величина ${\displaystyle \sup _{x\in X}\mu _{A}(x)}$ называется высотой нечёткого множества ${\displaystyle A\ }$. Нечёткое множество ${\displaystyle A\ }$ нормально, если его высота равна ${\displaystyle 1\ }$. Если высота строго меньше ${\displaystyle 1\ }$, нечёткое множество называется субнормальным;
• нечёткое множество пусто, если ${\displaystyle \forall x\in X:\mu _{A}(x)=0}$. Непустое субнормальное нечёткое множество можно нормализовать по формуле

  ${\displaystyle \mu '_{A}(x)={\frac {\mu _{A}(x)}{\sup \mu _{A}(x)}}}$;

• нечёткое множество унимодально, если ${\displaystyle \mu _{A}(x)=1\ }$ только на одном ${\displaystyle x\ }$ из ${\displaystyle X\ }$;
• элементы ${\displaystyle x\in X}$, для которых ${\displaystyle \mu _{A}(x)=0{,}5}$, называются точками перехода нечёткого множества ${\displaystyle A\ }$.

Сравнение нечётких множеств

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — нечёткие множества, заданные на универсальном множестве ${\displaystyle X}$.

• ${\displaystyle A}$ содержится в ${\displaystyle B}$, если для любого элемента из ${\displaystyle X}$ функция его принадлежности множеству ${\displaystyle A}$ будет принимать значение меньшее либо равное, чем функция принадлежности множеству ${\displaystyle B}$:

  ${\displaystyle A\subset B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)}$.

• В случае, если условие ${\displaystyle \mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x)}$ выполняется не для всех ${\displaystyle x\in X}$, говорят о степени включения нечёткого множества ${\displaystyle A}$ в ${\displaystyle B}$, которое определяется так:

  ${\displaystyle l\left(A\subset B\right)=\min _{x\in T}\mu _{B}(x)}$, где ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\leqslant \mu _{B}(x),\mu _{A}(x)>0\}}$.

• Два множества называются равными, если они содержатся друг в друге:

  ${\displaystyle A=B\Leftrightarrow \forall x\in X:\mu _{A}(x)=\mu _{B}(x)}$.

• В случае, если значения функций принадлежности ${\displaystyle \mu _{A}(x)}$ и ${\displaystyle \mu _{B}(x)}$ почти равны между собой, говорят о степени равенства нечётких множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, например, в виде

  ${\displaystyle E(A=B)=1-\max _{x\in T}|\mu _{A}(x)-\mu _{B}(x)|}$, где ${\displaystyle T=\{x\in X;\mu _{A}(x)\neq \mu _{B}(x)\}}$.

Свойства нечётких множеств

${\displaystyle \alpha }$-срезом нечёткого множества ${\displaystyle A\subseteq X}$, обозначаемым как ${\displaystyle A_{\alpha }}$, называется следующее чёткое множество:

${\displaystyle A_{\alpha }=\{x\in X\mid \mu _{A}(x)\geqslant \alpha \}}$,

то есть множество, определяемое следующей характеристической функцией (функцией принадлежности):

${\displaystyle \chi _{A_{\alpha }}(x)=\left\{{\begin{matrix}0,&\mu _{A}(x)<\alpha ,\\1,&\mu _{A}(x)\geqslant \alpha .\end{matrix}}\right.}$

Для ${\displaystyle \alpha }$-среза нечёткого множества истинна импликация:

${\displaystyle \alpha _{1}<\alpha _{2}\Rightarrow A_{\alpha _{1}}\supset A_{\alpha _{2}}}$.

Нечёткое множество ${\displaystyle A\subseteq \mathbf {R} }$ является выпуклым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\displaystyle \mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\geqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\land \mu _{A}(x_{2})=\min\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle }$

для любых ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbf {R} }$ и ${\displaystyle \gamma \in [0,1]}$.

Нечёткое множество ${\displaystyle A\subseteq \mathbf {R} }$ является вогнутым тогда и только тогда, когда выполняется условие:

${\displaystyle \mu _{A}[\gamma x_{1}+(1-\gamma )x_{2}]\leqslant \langle \mu _{A}(x_{1})\lor \mu _{A}(x_{2})=\max\{\mu _{A}(x_{1}),\mu _{A}(x_{2})\}\rangle }$

для любых ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in \mathbf {R} }$ и ${\displaystyle \gamma \in [0,1]}$.

Операции над нечёткими множествами

При множестве принадлежностей ${\displaystyle M=[0,1]\ }$

• Пересечением нечётких множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся минимумом функций принадлежности ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$:

  ${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$.

• Произведением нечётких множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  ${\displaystyle \mu _{AB}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)}$.

• Объединением нечётких множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности, являющейся максимумом функций принадлежности ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$:

  ${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$.

• Суммой нечётких множеств ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ называется нечёткое подмножество с функцией принадлежности:

  ${\displaystyle \mu _{A+B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\ -\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)}$.

• Отрицанием множества ${\displaystyle A\ }$ называется множество ${\displaystyle {\overline {A}}}$ с функцией принадлежности:

  ${\displaystyle \mu _{\overline {A}}(x)=1-\mu _{A}(x)}$ для каждого ${\displaystyle x\in X}$.

Альтернативное представление операций над нечёткими множествами

Пересечение

В общем виде операция пересечения нечётких множеств определяется следующим образом:

${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=T(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$,

где функция ${\displaystyle T}$ — это так называемая T-норма. Ниже приведены частные примеры реализации T-нормы:

• ${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\land \mu _{B}(x)=\min(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$
• ${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)}$
• ${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\max\{0,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-1\}}$
• ${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=1\\\mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=1\\0,&\mu _{A}(x)<1,\mu _{B}(x)<1,\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \mu _{A\cap B}(x)=1-\min\{1,[(1-\mu _{A}(x))^{p}+(1-\mu _{B}(x))^{p}]^{1 \over p}\}}$, для ${\displaystyle p\geqslant 1}$

Объединение

В общем случае операция объединения нечётких множеств определяется следующим образом:

${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=S(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$,

где функция ${\displaystyle S}$ — T-конорма. Ниже приведены частные примеры реализации S-нормы:

• ${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)\lor \mu _{B}(x)=\max(\mu _{A}(x),\mu _{B}(x))}$
• ${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)-\mu _{A}(x)\mu _{B}(x)}$
• ${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,\mu _{A}(x)+\mu _{B}(x)\}}$
• ${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\left\{{\begin{matrix}\mu _{A}(x),&\mu _{B}(x)=0\\\mu _{B}(x),&\mu _{A}(x)=0\\1,&\mu _{A}(x)>0,\mu _{B}(x)>0\end{matrix}}\right.}$
• ${\displaystyle \mu _{A\cup B}(x)=\min\{1,[\mu _{A}^{p}(x)+\mu _{B}^{p}(x)]^{1 \over p}\}}$, для ${\displaystyle p\geqslant 1}$

Связь с теорией вероятностей

Теория нечётких множеств в определённом смысле сводится к теории случайных множеств и тем самым к теории вероятностей. Основная идея состоит в том, что значение функции принадлежности ${\displaystyle \mu _{A}(x)\ }$ можно рассматривать как вероятность накрытия элемента ${\displaystyle x\ }$ некоторым случайным множеством ${\displaystyle B\ }$.

Однако при практическом применении аппарат теории нечётких множеств обычно используется самостоятельно, выступая конкурентом к аппарату теории вероятностей и прикладной статистики. Например, в теории управления существует направление, в котором для синтеза экспертных регуляторов вместо методов теории вероятностей используются нечёткие множества (нечёткие регуляторы).

Примеры

Пусть:

• множество ${\displaystyle X=\{x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\}}$
• множество принадлежностей ${\displaystyle M=[0,1]}$
• ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ — два нечётких подмножества ${\displaystyle X}$
  • ${\displaystyle A=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1)\}}$
  • ${\displaystyle B=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}}$

Результаты основных операций:

• пересечение: ${\displaystyle {A\cap B}=\{(x_{1}\mid 0{,}3),(x_{2}\mid 0),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 0{,}2)\}={B}}$
• объединение: ${\displaystyle {A\cup B}=\{(x_{1}\mid 0{,}4),(x_{2}\mid 0{,}6),(x_{3}\mid 0),(x_{4}\mid 1)\}={A}}$