Тетрадная теория гравитации

Тетрадная теория гравитации — обобщение общей теории относительности, которое постулирует, что исходные гравитационные переменные являются четырёхвекторами, а метрический тензор целиком определяется из них. Была предложена датским физиком Х. Мёллером в 1961 году^[1][2]. В случае слабых полей совпадает с общей теорией относительности. При соответствующем выборе вида лагранжиана для уравнений поля позволяет избавиться от проблемы сингулярностей в общей теории относительности.

Основные положения

В тетрадной теории гравитации гравитационное поле описывается четырьмя независимыми контравариантными векторными полями ${\displaystyle h_{a}^{i}}$ или четырьмя независимыми ковариантными векторными полями ${\displaystyle h_{i}^{a}}$, связанными друг с другом посредством уравнений ${\displaystyle h_{i}^{a}h_{b}^{i}=\delta _{ab},h_{a}^{i}h_{k}^{a}=\delta _{ik}}$.

Метрический тензор ${\displaystyle g_{ik}}$ определяется следующим образом: ${\displaystyle g_{ik}=h_{i}^{a}h_{ak}=h_{i}^{a}\eta _{ab}h_{k}^{b},g^{ik}=h^{ai}h_{a}^{k}=\eta ^{ab}h_{a}^{i}h_{b}^{k}}$^[3].

Уравнения гравитационного поля выводятся из принципа Лагранжа: ${\displaystyle \delta \int {\mathcal {f}}L+\varkappa L_{m}{\mathcal {g}}{\sqrt {-g}}dx=0}$ с произвольными вариациями ${\displaystyle \delta h_{a}^{i}}$ полевых переменных, которые исчезают на границе интегрирования^[4].

Теорию гравитации без сингулярностей удаётся построить в случае лагранжиана: ${\displaystyle L=\gamma _{rst}\gamma ^{tsr}-\gamma _{sn}^{n}\gamma _{n}^{sn}+\lambda L'}$, где ${\displaystyle L'}$ — однородная функция четвёртой степени от ${\displaystyle h_{a,s}^{n}}$, ${\displaystyle \lambda }$ — постоянная, имеющая размерность квадрата длины, ${\displaystyle \gamma _{ikl}=h_{i}^{a}h_{ak;l}=-\gamma _{kil}}$^[5].