Топологическое кольцо

Топологическое кольцо — кольцо, снабжённое естественной топологией.

Определения

Топологическое кольцо — кольцо с топологией, относительно которой сложение и умножение непрерывны.

В определении топологического поля дополнительно требуется, что взятие обратного ${\displaystyle x\mapsto x^{-1}}$ непрерывно во всех элементах кроме 0.

Примеры

Топологические кольца

• Кольцо непрерывных вещественно-значных функций на топологическом пространстве с топологией поточечной сходимости.
• Кольцо непрерывных линейных операторов на нормированном пространстве;
• Банахова алгебра.
• Двойные, дуальные и другие гиперкомплексные числа.

Топологические поля

• рациональные, вещественные, комплексные и р-адические числа.
• Локальное поле

Свойства

• Пополнение топологического кольца даёт полное топологическое кольцо.

• Группа единиц ${\displaystyle K^{\times }}$ топологического кольца ${\displaystyle K}$ образуют топологическую группу, с топологией индуцированной вложением в ${\displaystyle u\mapsto (u,u^{-1})}$.
  • Однако если группа ${\displaystyle K^{\times }}$ снабжена топологией как подпространство в ${\displaystyle K}$, то она может не быть топологической группой, поскольку в этой топологии отображение ${\displaystyle u\mapsto u^{-1}}$ не обязано быть непрерывным. Это происходит например в кольцах аделей^[англ.].

Ссылки

• Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. — М.: Наука, 1973. — 519 с.