Тороидальная система координат

Тороидальная система координат — ортогональная система координат в пространстве, координатными поверхностями которой являются торы, сферы и полуплоскости. Данная система координат может быть получена посредством вращения двумерной биполярной системы координат вокруг оси, равноудалённой от фокусов биполярной системы.

Определение

Связь с декартовыми координатами

Тороидальная система координат ${\displaystyle (\alpha ,\beta ,\varphi )}$ определяется посредством формул перехода из этих координат в декартовы координаты:

${\displaystyle x={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \cos \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad y={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha \sin \varphi }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}}$,

где ${\displaystyle c>0}$ — масштабный множитель и радиус окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=c^{2},z=0}$ в которую вырождается тороидальная координатная поверхность ${\displaystyle \alpha =\alpha _{0}=\mathrm {const} }$ при ${\displaystyle \alpha _{0}\rightarrow \infty }$. Пределы изменения координаты ${\displaystyle 0\leqslant \alpha <\infty }$. Обращаясь в бесконечность на указанной окружности, она стремится к нулю на бесконечности, а также в любой точке оси ${\displaystyle x=0,\,y=0}$. Две другие координаты являются циклическими с периодом ${\displaystyle 2\pi }$, например можно выбрать ${\displaystyle -\pi <\beta \leqslant \pi ,-\pi <\varphi \leqslant \pi }$

Связь с цилиндрическими координатами

Формулы перехода из тороидальных координат ${\displaystyle (\alpha (z,r),\beta (z,r),\varphi )}$ в цилиндрические координаты ${\displaystyle (z,r,\varphi )}$:

${\displaystyle r={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\quad \quad z={\frac {c\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}.}$

Для обратного преобразования при известных цилиндрических координатах точки ${\displaystyle (z,r,\varphi )}$ вычисляют значения ${\displaystyle R_{\pm }={\sqrt {r^{2}+z^{2}\pm 2cr}}}$ — максимальное и минимальное расстояние от данной точки до окружности ${\displaystyle r=c,\,z=0}$, через которые затем выражаются

${\displaystyle \kappa ^{2}(\alpha )=1-e^{-2\alpha }={\frac {4rc}{R_{+}^{2}}},\qquad \kappa ^{\prime }=e^{-\alpha }={\frac {R_{-}}{R_{+}}},\qquad \sin \beta ={\frac {2zc}{R_{-}R_{+}}}}$

Альтернативное определение

В русскоязычной литературе тороидальными могут называться и более простые координаты ${\displaystyle (\rho ,\beta ,\varphi )}$, такие, что:

${\displaystyle z=\rho \,\mathrm {sin} \,\beta \quad r=c+\rho \,\mathrm {cos} \,\beta }$

(в англоязычной литературе такие координаты называют англ. tubal, а не англ. toroidal). В этом случае циклические координаты ${\displaystyle \beta ,\,\varphi }$ называют полоидальным и тороидальным углами соответственно. В приложении к расчётам тородальных плазменных конфигураций, таких как токамак, помимо этих терминов ещё используется термин „магнитная ось“ для окружности ${\displaystyle r=c,\,z=0}$, на которой ${\displaystyle \rho =0}$. Вблизи магнитной оси координаты ${\displaystyle \beta }$ для обеих систем приближенно совпадают, а координаты ${\displaystyle \rho \equiv R_{-}}$ и ${\displaystyle u}$ связываются между собой соотношением: ${\displaystyle 2\kappa ^{\prime }(u)\approx \rho /c}$. Могут также вводиться криволинейные потоковые координаты^[1], в которых координатными поверхностями являются топологически тороидальные магнитные поверхности (на которых давление плазмы постоянно, а нормальная компонента магнитного поля равна нулю. В этом случае являющаяся аналогом переменных ${\displaystyle \alpha }$ или ${\displaystyle \rho }$ „потоковая“ координата служит только „меткой“ магнитной поверхности и её числовое значение несущественно.

Свойства

Координатные поверхности

${\displaystyle \alpha =\mathrm {const} }$ — торы

${\displaystyle ({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}-c\,\mathrm {cth} \,\alpha )^{2}+z^{2}=\left({\frac {c}{\mathrm {sh} \,\alpha }}\right)^{2}}$,

${\displaystyle \beta =\mathrm {const} }$ — сферы

${\displaystyle (z-c\,\mathrm {ctg} \,\beta )^{2}+x^{2}+y^{2}=\left({\frac {c}{\sin \beta }}\right)^{2}}$,

${\displaystyle \varphi =\mathrm {const} }$ — полуплоскости

${\displaystyle {\frac {x}{\cos \varphi }}={\frac {y}{\sin \varphi }}}$.

Дифференциальные характеристики

• Метрический тензор в тороидальных координатах имеет вид:

${\displaystyle g_{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0&0\\0&{\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}&0\\0&0&{\frac {c^{2}\mathrm {sh} ^{2}\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}\end{pmatrix}},\quad g^{ij}={\begin{pmatrix}{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0&0\\0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}}}&0\\0&0&{\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} ^{2}\,\alpha }}\end{pmatrix}}.}$

Он является диагональным, так как тороидальная система координат является ортогональной.

• Квадрат линейного элемента:

${\displaystyle ds^{2}={\frac {c^{2}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}}(d\alpha ^{2}+d\beta ^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha \,d\varphi ^{2})}$.

• Квадрат элемента площади:

${\displaystyle dS^{2}={\frac {c^{4}}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{4}}}((d\alpha \,d\beta )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\alpha \,d\varphi )^{2}+\mathrm {sh} ^{2}\alpha (d\beta \,d\varphi )^{2})}$.

• Элемент объёма:

${\displaystyle dV={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}d\alpha \,d\beta \,d\varphi }$.

• Коэффициенты Ламе:

${\displaystyle h_{\alpha }=h_{\beta }={\frac {c}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }},\quad h_{\varphi }={\frac {c\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}}$.

• Якобиан:

${\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\alpha ,\beta ,\varphi )}}={\frac {c^{3}\mathrm {sh} \,\alpha }{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}}}$.

• Символы Кристоффеля второго рода:

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{1}={\begin{pmatrix}0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha (\mathrm {ch} \,\alpha \cos \beta -1)}{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{2}={\begin{pmatrix}{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\\-{\frac {\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0&0\\0&0&{\frac {\mathrm {sh} ^{2}\alpha \sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\end{pmatrix}},}$

${\displaystyle \Gamma _{ij}^{3}={\begin{pmatrix}0&0&-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}\\0&0&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}\\-{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}&-{\frac {\sin \beta }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}&0\end{pmatrix}}.}$

Вид дифференциальных операторов в тороидальных координатах

• Градиент скалярной функции в тороидальных координатах задается следующим выражением:

${\displaystyle \operatorname {grad} \,U(\alpha ,\;\beta ,\;\varphi )={\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c}}\left({\frac {\partial U}{\partial \alpha }}{\vec {e}}_{\alpha }+{\frac {\partial U}{\partial \beta }}{\vec {e}}_{\beta }+{\frac {1}{\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e}}_{\varphi }\right).}$

• Дивергенция векторного поля:

${\displaystyle \ \operatorname {div} \mathbf {F} ={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{2}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial F_{\alpha }}{\partial \alpha }}+{\frac {\partial F_{\beta }}{\partial \beta }}+\,\mathrm {sh} \,\alpha {\frac {\partial F_{\varphi }}{\partial \varphi }}\right)-{\frac {\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}(F_{\alpha }\,\mathrm {sh} \,\alpha -F_{\beta }\sin \beta )}$

• Оператор Лапласа:

${\displaystyle \Delta u={\frac {(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )^{3}}{c^{2}\,\mathrm {sh} \,\alpha }}\left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}\right)}$

Дифференциальные уравнения в тороидальных координатах

Уравнение Лапласа в тороидальных координатах имеет вид:

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial \alpha }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \alpha }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \beta }}\left({\frac {\,\mathrm {sh} \,\alpha }{\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta }}{\frac {\partial u}{\partial \beta }}\right)+{\frac {1}{(\mathrm {ch} \,\alpha -\cos \beta )\,\mathrm {sh} \,\alpha }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \varphi ^{2}}}\right)=0}$

Решение удобно искать в виде:

${\displaystyle u=v{\sqrt {2\mathrm {ch} \alpha -2\cos \beta }}}$,

тогда уравнение для функции ${\displaystyle v}$:

${\displaystyle v_{\alpha \alpha }+v_{\beta \beta }+v_{\alpha }\mathrm {cth} \,\alpha +{\frac {1}{4}}v+{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}v_{\varphi \varphi }=0}$.

После чего можно разделить переменные:

${\displaystyle v=A(\alpha )B(\beta )\Phi (\varphi )}$.

В результате получится система:

${\displaystyle {\begin{cases}A''+\,\mathrm {cth} \,\alpha \,A'+\left({\frac {1}{4}}-{\frac {k_{\varphi }^{2}}{\mathrm {sh} ^{2}\alpha }}-k_{\beta }^{2}\right)A=0\\B''+k_{\beta }^{2}B=0\\\Phi ''+k_{\varphi }^{2}\Phi =0\end{cases}}}$

В случае уравнения Гельмгольца в тороидальных координатах переменные не делятся.