Трансфинитная последовательность

Трансфинитная последовательность элементов множества ${\displaystyle X}$ — отображение ${\displaystyle a\colon [0;\alpha )\to X}$, где ${\displaystyle \alpha }$ — некоторый ординал. Ординал ${\displaystyle \alpha }$ называется длиной^[1] или типом^[2] трансфинитной последовательности ${\displaystyle a}$.

Частные случаи:

• трансфинитная последовательность длины ${\displaystyle n<\omega }$ — конечная последовательность;
• трансфинитная последовательность длины ${\displaystyle \omega }$ — последовательность в классическом понимании, то есть отображение из множества натуральных чисел.

Множество всех трансфинитных последовательностей элементов множества ${\displaystyle X}$ длины ${\displaystyle \alpha }$ обозначается ${\displaystyle X^{\alpha }}$, длины меньше ${\displaystyle \alpha }$ — ${\displaystyle X^{<\alpha }}$, длины меньшей или равной ${\displaystyle \alpha }$ — ${\displaystyle X^{\leq \alpha }}$.

Для трансфинитных последовательностей аналогично обычным можно определить предел. Пусть ${\displaystyle a_{\gamma }}$ — последовательность элементов топологического пространства ${\displaystyle X}$, а её длина ${\displaystyle \alpha }$ — предельный ординал (ненулевой ординал не имеющий предшественника). Будем считать, что на ${\displaystyle [0;\alpha )}$ задана порядковая топология. Пределом трансфинитной последовательности называется её обычный топологический предел при стремлении аргумента к ${\displaystyle \alpha }$.

Трансфинитная класс-последовательность (в широком смысле) элементов класса ${\displaystyle X}$ — либо обычная трансфинитная последовательность, либо класс-функция ${\displaystyle a:\operatorname {Ord} \to X}$, где ${\displaystyle \operatorname {Ord} }$ — класс всех ординалов. В узком смысле класс-последовательность — класс-функция ${\displaystyle a:\operatorname {Ord} \to X}$. Обычно под термином класс-последовательность имеют в виду именно класс последовательность в узком смысле, поскольку все остальные трансфинитные класс-последовательности являются трансфинитными последовательностями в обычном понимании.

Примеры класс-последовательностей: иерархия алефов, иерархия фон Неймана.