Трансцендентное уравнение

Трансцендентное уравнение — уравнение, не являющееся алгебраическим. Обычно это уравнения, содержащие показательные, логарифмические, тригонометрические, обратные тригонометрические функции, например:

• ${\displaystyle x=e^{-x}}$
• ${\displaystyle \cos x=x}$
• ${\displaystyle \lg x=x-5}$
• ${\displaystyle 2^{x}=\lg x+x^{5}+40}$

Более строгое определение таково:

Трансцендентное уравнение — это уравнение вида ${\displaystyle f(x)=g(x)}$, где функции ${\displaystyle f}$ и ${\displaystyle g}$ являются аналитическими функциями, и по крайней мере одна из них не является алгебраической.

Примеры с приближенными ответами

• ${\displaystyle x-\cos {x}=0\Longleftrightarrow x=\cos {\cos {...\cos {x}}}}$, ответ ${\displaystyle x=0,739085...}$ — число Дотти.
• ${\displaystyle i^{x}-x=0}$, ответ ${\displaystyle x=i^{i^{i^{...}}}=0,438283...+i0,360592...}$.
• ${\displaystyle i^{-x}-x=0}$, ответ ${\displaystyle x=-i^{-i^{-i^{...}}}=0,438283...-i0,360592...}$
• ${\displaystyle x-\ln {x}=0}$, ответ ${\displaystyle x=\ln {\ln {...\ln {x}}}=0,318132...\pm i1,33724...}$.
• ${\displaystyle x-\lg {x}=0}$, ответ ${\displaystyle x=\lg {\lg {...\lg {x}}}=-0,119193...\pm i0,750583...}$.

Другие решения

Трудности, возникающие при решении трансцендентных систем уравнений высокого порядка, были преодолены В. А. Варюхиным с помощью «сепарации» неизвестных, при которой определение неизвестных сводится к решению алгебраических уравнений^[1][2].

См. также

• Алгебраическая функция
• Алгебраическое уравнение
• Трансцендентная функция
• Алгебраическое число
• Трансцендентное число
• Показательное уравнение