Единичная окружность

Единичная окружность — окружность с радиусом 1 и центром в начале координат^[1]. Это понятие широко используется для определения и исследования тригонометрических функций.

Свойства и связанные понятия

Внутренность единичной окружности называется единичным кругом.

Для координат всех точек на единичной окружности, согласно теореме Пифагора, выполняется равенство ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$. Это равенство можно рассматривать как уравнение единичной окружности.

Тригонометрические функции

Все тригонометрические функции угла θ могут быть сконструированы геометрически при помощи единичной окружности.

С помощью единичной окружности могут быть наглядно описаны тригонометрические функции (в контексте такого описания единичную окружность иногда называют «тригонометрическим кругом», что не слишком удачно, так как рассматривается именно окружность, а не круг).

Синус и косинус могут быть описаны следующим образом: если соединить любую точку ${\displaystyle (x,y)}$ на единичной окружности с началом координат ${\displaystyle (0,0)}$, получается отрезок, находящийся под углом ${\displaystyle \alpha }$ относительно положительной полуоси абсцисс. Тогда получим^[2]:

${\displaystyle \cos \alpha =x}$,

${\displaystyle \sin \alpha =y}$.

При подстановке этих значений в уравнение окружности ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$ получается:

${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\sin ^{2}\alpha =1}$.

Тут же наглядно описывается периодичность тригонометрических функций, так как соответствующее углу положение отрезка не зависит от количества «полных оборотов»:

${\displaystyle \sin(x+2\pi k)=\sin(x)}$

${\displaystyle \cos(x+2\pi k)=\cos(x)}$

для всех целых чисел ${\displaystyle k}$, то есть для ${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$.

Комплексная плоскость

См. также: U(1) и Корни из единицы

В комплексной плоскости единичная окружность — это множество комплексных чисел, модуль которых равен 1:

${\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \}}$

Любое ненулевое комплексное число ${\displaystyle z}$ может быть однозначно записано в виде ${\displaystyle z=|z|u,}$ где число ${\displaystyle u}$ имеет модуль 1 и поэтому принадлежит единичной окружности,

Множество ${\displaystyle G}$ является подгруппой группы комплексных чисел по умножению. В свою очередь, ${\displaystyle G}$ содержит важные в алгебре конечные группы корней ${\displaystyle n}$-й степени из единицы, образующие вдоль единичной окружности вершины правильного ${\displaystyle n}$-угольника.

Радиан как длина дуги единичной окружности

Радианная мера

Радианную меру угла можно определить как длину той дуги, которую высекает из единичной окружности данный угол (центр окружности совпадает с вершиной угла)^[3].

Вариации и обобщения

Понятие единичной окружности обобщается до ${\displaystyle n}$-мерного пространства (${\displaystyle n>2}$), в таком случае говорят о «единичной сфере».