Древнеегипетское умножение

Древнеегипетское умножение (известное также как египетское умножение, эфиопское умножение, русское умножение или крестьянское умножение) — это один из двух методов умножения двух чисел, который не требует знания таблицы умножения, а только умение умножать, делить на два и складывать. Метод раскладывает один из множителей (чаще всего наименьший) на сумму степеней двойки, создавая таблицу удвоения второго множителя. Этот метод можно назвать методом нахождения середины и удвоения, где нахождение середины означает деление одного числа пополам, а удвоение — увеличение другого числа в два раза. Метод всё ещё применяется в некоторых регионах^[1].

Вторая техника египетского умножения и деления известна из иератических математических папирусов — московского и папируса Ринда, написанного в семнадцатом веке писарем Ахмесом^[2].

Хотя в древнем Египте концепции двоичной системы не было, алгоритм по своей сути схож с умножением в столбик^[англ.] и может быть интерпретирован как работа с числами, выраженными в двоичной системе .

Таким образом, если понимать метод как умножение чисел в двоичном виде, он широко применяется и в современности в вычислительных блоках процессоров^[1].

Метод

Древние египтяне составляли таблицы больших степеней двойки, не вычисляя их каждый раз. Разложение числа состояло в нахождении степеней, которые в сумме составляют число. Египтяне эмпирически знали, что данная степень двух только один раз появляется в разложении числа в сумму. Для разложения числа был систематический подход: сначала находили наибольшую степень двойки, не превосходящую число, а потом найденная степень вычиталась из числа, и процесс повторялся, пока число не исчерпывалось. Египтяне не использовали число ноль.

После разложения первого множителя строилась таблица умножения степеней двойки на второй множитель (обычно меньший) от единицы до максимальной степени, найденной в процессе разложения.

Результат получается путём сложения чисел, соответствующих степеням двойки, присутствующим в разложении первого множителя^[1].

Пример

25 × 7 = ?

Разложение числа 25:

Наибольшая степень двойки, не превосходящая 25	равна 16:	25 − 16	= 9.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 9	равна 8:	9 − 8	= 1.
Наибольшая степень двойки, не превосходящая 1	равна 1:	1 − 1	= 0.
25 есть сумма чисел 16, 8 и 1.

Составляем таблицу умножения 7 на степени двойки:

1	7
2	14
4	28
8	56
16	112

Поскольку 25 = 16 + 8 + 1, соответствующие умножения их на 7 и сложение даёт 25 × 7 = 112 + 56 + 7 = 175.

Умножение русских крестьян

В методе умножения русских крестьян степени двойки в разложении одного из множителей находятся путём выписывания его слева и процесса последовательного деления пополам очередного числа в левом столбце. Остаток отбрасывается, и процесс продолжается, пока значение не станет равным 1 (или −1, в этом случае в конце сумму вычитают). При этом правый столбец последовательно увеличивается в два раза, как и в предыдущем методе. Строки с чётными числами в левом столбце вычёркиваются, а оставшиеся числа в правом столбце складываются^[3].

Пример

238 × 13 = ?

13		238
6	(остаток отбрасывается)	476
3		952
1	(остаток отбрасывается)	1904

13	238
6	476
3	952
1	+1904
	3094

См. также

• Египетские дроби
• Математика в Древнем Египте
• Алгоритмы умножения^[англ.]
• Двоичная система счисления
• Книга Ведическая математика^[англ.] Бхарати Кришны