Уникальное простое

В теории чисел Уникальное простое число — это определённый вид простых чисел. Простое число p ≠ 2, 5 называется уникальным, если не существует другого простого q, такого что длина периода разложения в десятичную дробь обратной величины, 1⁄p, равна длине периода 1⁄q. Уникальные простые впервые были описаны Самюэлем Йетсом (Samuel Yates) в 1980.

Можно показать, что простое p является уникальным с периодом n тогда и только тогда, когда существует натуральное число c, такое что

${\displaystyle {\frac {\Phi _{n}(10)}{\gcd(\Phi _{n}(10),n)}}=p^{c}}$,

где ${\displaystyle \Phi _{n}(x)}$ — это n-ый круговой многочлен. В настоящее время известно более пятидесяти уникальных простых или возможно простых. Однако известно только двадцать три уникальных простых, меньших 10¹⁰⁰. Таблица ниже показывает 23 уникальных простых, меньших 10¹⁰⁰ (последовательность A040017 в OEIS) и их периоды (последовательность A051627 в OEIS):

Длина периода	Простое
1	3
2	11
3	37
4	101
10	9091
12	9901
9	333,667
14	909,091
24	99,990,001
36	999,999,000,001
48	9,999,999,900,000,001
38	909,090,909,090,909,091
19	1,111,111,111,111,111,111
23	11,111,111,111,111,111,111,111
39	900,900,900,900,990,990,990,991
62	909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
120	100,009,999,999,899,989,999,000,000,010,001
150	10,000,099,999,999,989,999,899,999,000,000,000,100,001
106	9,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
93	900,900,900,900,900,900,900,900,900,900,990,990,990,990,990,990,990,990,990,991
134	909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,090,909,091
294	142,857,157,142,857,142,856,999,999,985,714,285,714,285,857,142,857,142,855,714,285,571,428,571,428,572,857,143
196	999,999,999,999,990,000,000,000,000,099,999,999,999,999,000,000,000,000,009,999,999,999,999,900,000,000,000,001

Простое число с периодом 294 похоже на число, обратное 7 (0.142857142857142857…)

Не приведённое в таблице 24-е уникальное простое число содержит 128 знаков и период длиной 320. Оно может быть записано как (9₃₂0₃₂)₂ + 1, где индекс n означает n последовательных копий цифры или группы цифр, находящихся перед индексом.

Хотя уникальные простые числа редки, существует основывающаяся на изучении простых, состоящих из одной цифры, и возможно простых гипотеза о бесконечном числе уникальных простых (любой простой репьюнит уникален).

На 2010 год репьюнит (10²⁷⁰³⁴³−1)/9 — наибольшее из известных возможно уникальных простых чисел.^[1]

В 1996 году наибольшим проверенным уникальным простым было (10¹¹³² + 1)/10001, или, используя использованную выше запись, (99990000)₁₄₁+ 1. Его период равен 2264. Рекорд был с тех пор несколько раз улучшен. К 2010 году наибольшее проверенное уникальное простое число имело 10,081 знаков.^[2]

Ссылки

• The Prime Glossary: Unique prime
• Prime Top Tens
• Unique Period Primes
• Factorization of 11...11 (Repunit)