Управляемость (теория управления)

У этого термина существуют и другие значения, см. Управляемость.

Управляемость — одно из важнейших свойств системы управления и объекта управления (машины, живого организма, общества и т. п.), описывающее возможность перевести систему из одного состояния в другое. Исследование системы управления на управляемость является одним из важных шагов в синтезе управляющих контроллеров.

Определение

Состояние ${\displaystyle x(t_{1})}$ линейной системы управляемо, если существует такой вход ${\displaystyle u(t)}$, который переводил бы начальное состояние ${\displaystyle x_{0}(t_{1})}$ в конечное состояние ${\displaystyle x_{k}(t_{2})}$ за конечный интервал времени ${\displaystyle (t_{2}-t_{1})}$.

Система называется полностью управляемой, если все компоненты её вектора состояний управляемы.

Критерий управляемости (критерий Калмана)

Для линейных систем существует критерий управляемости в пространстве состояний.

Пусть существует система порядка ${\displaystyle n}$ (с ${\displaystyle n}$ компонентами вектора состояния), ${\displaystyle p}$ входами и ${\displaystyle q}$ выходами, записанная в виде:

${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A\mathbf {x} (t)+B\mathbf {u} (t)}$

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=C\mathbf {x} (t)+D\mathbf {u} (t)}$

где

${\displaystyle x(t)\in \mathbb {R} ^{n}}$; ${\displaystyle y(t)\in \mathbb {R} ^{q}}$; ${\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{p}}$;

${\displaystyle \operatorname {dim} [A]=n\times n}$, ${\displaystyle \operatorname {dim} [B]=n\times p}$, ${\displaystyle \operatorname {dim} [C]=q\times n}$, ${\displaystyle \operatorname {dim} [D]=q\times p}$, ${\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t):={d\mathbf {x} (t) \over dt}}$.

здесь ${\displaystyle x(\cdot )}$ — «вектор состояния», ${\displaystyle y(\cdot )}$ — «вектор выхода», ${\displaystyle u(\cdot )}$ — «вектор входа», ${\displaystyle A}$ — «матрица системы», ${\displaystyle B}$ — «матрица управления», ${\displaystyle C}$ — «матрица выхода», ${\displaystyle D}$ — «сквозная матрица».

Для неё можно составить матрицу управляемости:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}B\ AB\ A^{2}B\ \dots \ A^{n-1}B\end{bmatrix}}}$

Согласно критерию управляемости если ранг матрицы управляемости равен ${\displaystyle n}$, система является полностью управляемой^[1].