Осциллятор Ван дер Поля

Осциллятор Ван дер Поля — осциллятор с нелинейным затуханием. Математически моделируется уравнением

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$, где

${\displaystyle x}$ — координата точки, зависящая от времени ${\displaystyle t}$;

${\displaystyle \mu }$ — коэффициент, характеризующий нелинейность и силу затухания колебаний.

Осциллятор Ван дер Поля
Названо в честь	Балтазар Ван дер Пол
Определяющая формула	${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=0}$
Медиафайлы на Викискладе

История

Осциллятор Ван дер Поля был предложен голландским инженером и физиком Бальтазаром ван дер Полем, во время его работы в компании Philips.^[1] Ван дер Полем были найдены устойчивые колебания, которые были названы релаксационными,^[2] известные как «предельные циклы». В сентябре 1927 года Ван дер Поль и его коллега ван дер Марк сообщили,^[3] что на определённых частотах были зафиксированы шумы, всегда находящиеся рядом с собственными частотами волн. Это было одним из первых наблюдений детерминированного хаоса.^[4]

Уравнение Ван дер Поля применяется и в физике, и в биологии. Так, например, в биологии создана модель ФитцХью — Нагумо. Данное уравнение также было использовано в сейсмологии для моделирования геологических разломов.^[5]

Двумерный случай

С помощью теоремы Льенара можно доказать, что система имеет предельный цикл. Из данной теоремы следует, что ${\displaystyle y=x-{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {1}{\mu }}{\frac {dx}{dt}}}$. Отсюда можно вывести^[6] уравнения осциллятора Ван дер Поля для двумерного случая:

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=\mu \left(x-{\frac {1}{3}}x^{3}-y\right)\\{\frac {dy}{dt}}&={\frac {1}{\mu }}x\end{aligned}}\right.}$.

Можно также совершить другую замену ${\displaystyle y={\frac {dx}{dt}}}$ и получить

${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=y\\{\frac {dy}{dt}}&=\mu (1-x^{2})y-x\end{aligned}}\right.}$.

Осциллятор со свободными колебаниями

У осциллятора Ван дер Поля существуют два интересных режима: при ${\displaystyle \mu =0}$ и при ${\displaystyle \mu >0}$. Очевидно, что третьего режима — ${\displaystyle \mu <0}$ — не существует, так как затухание в системе не может быть отрицательным.

1) Когда ${\displaystyle \mu =0}$, то есть осциллятор рассчитывается без затухания, то указанные выше уравнения преобразуются к виду

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}+x=0}$.

Это уравнение гармонического осциллятора.

2) При ${\displaystyle \mu >0}$ система имеет некие предельные циклы. Чем дальше ${\displaystyle \mu }$ от нуля, тем колебания осциллятора менее похожи на гармонические.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания осциллятора Ван дер Поля как с потерями энергии, так и без оных рассчитываются по формуле

${\displaystyle {d^{2}x \over dt^{2}}-\mu (1-x^{2}){dx \over dt}+x=A\sin(\omega t)}$, где

${\displaystyle A}$ — амплитуда внешнего гармонического сигнала,

${\displaystyle \omega }$ — его угловая частота.

Галерея

• 
  Фазовый портрет осциллятора. Виден предельный цикл.
• 
  Изменение формы предельного цикла при изменении ${\displaystyle \mu }$
• 
  Релаксационные колебания осциллятора. ${\displaystyle \mu =5}$.
• 
  Хаотичное поведение осциллятора при воздействии внешней гармонической вынуждающей силы. ${\displaystyle \mu =8,53;A=1,2;\omega =2,10}$
• 
  Принципиальная схема на триоде.