Алгебра Дэффина — Кеммера — Петье

Алгебра Дэффина — Кеммера — Петье (ДКП — алгебра) — алгебра, образуемая матрицами Дэффина — Кеммера — Петье. В математической физике матрицы Дэффина — Кеммера — Петье используются в уравнении Даффина — Кеммера — Петье, служащим для релятивистски-инвариантного описания элементарных частиц со спином 0 и спином 1 в стандартной модели. ДКП-алгебра также называется «мезонной алгеброй»^[1]. Введена в науку Ричардом Дэффином^[англ.], Н. Кеммером и Д. Петье.

Определения

Матрицы Дэффина — Кеммера — Петье определяются посредством уравнения^[2]:

${\displaystyle \beta ^{a}\beta ^{b}\beta ^{c}+\beta ^{c}\beta ^{b}\beta ^{a}=\beta ^{a}\eta ^{bc}+\beta ^{c}\eta ^{ba}\,,}$

где ${\displaystyle \eta ^{ab}}$ — состоящая из констант диагональная матрица. Матрицы Дэффина — Кеммера — Петье ${\displaystyle \beta }$, для которых ${\displaystyle \eta ^{ab}}$ состоят из диагональных элементов (+1,-1,…,-1), используются в уравнении Дэффина-Кеммера-Петье. Пятимерные ДКП-матрицы могут быть представлены как^[3][4]:

${\displaystyle \beta ^{0}={\begin{pmatrix}0&1&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \beta ^{1}={\begin{pmatrix}0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \beta ^{2}={\begin{pmatrix}0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\end{pmatrix}}}$, ${\displaystyle \quad \beta ^{3}={\begin{pmatrix}0&0&0&0&-1\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0\end{pmatrix}}\,.}$

Эти пятимерные ДКП-матрицы используются для релятивистски-инвариантного представления элементарных частиц со спином 0. Для частиц со спином 1 используются 10-мерные ДКП-матрицы^[3]. ДКП-алгебра может быть сведена к прямой сумме неприводимых подалгебр для бозонов со спином 0 и спином 1, причем подалгебры определяются правилами умножения для линейно независимых базисных элементов^[5].

Уравнение Дэффина — Кеммера — Петье

Уравнением Дэффина — Кеммера — Петье (ДКП-уравнением, уравнением Кеммера) называется релятивистское волновое уравнение, которое служит для описания элементарных частиц со спином 0 и 1 в стандартной модели. Для элементарных частиц с ненулевой массой ДКП-уравнение имеет вид^[2]

${\displaystyle (i\hbar \beta ^{a}\partial _{a}-mc)\psi =0\,,}$

где ${\displaystyle \beta ^{a}}$ — матрицы Дэффина — Кеммера — Петье, ${\displaystyle m}$ — масса частицы, ${\displaystyle \psi }$ — её волновая функция, ${\displaystyle \hbar }$ — постоянная Планка, ${\displaystyle c}$ — скорость света. Для безмассовых частиц, член ${\displaystyle mc}$ заменяется сингулярной матрицей ${\displaystyle \gamma }$ которая подчиняется уравнениям ${\displaystyle \beta ^{a}\gamma +\gamma \beta ^{a}=\beta ^{a}}$ и ${\displaystyle \gamma ^{2}=\gamma }$.

ДКП-уравнение для частиц со спином 0 тесно связано с уравнением Клейна — Гордона^[4][6] и уравнение для частиц со спином 1 с уравнением Прока^[7]. Оно страдает тем же недостатком, что и уравнение Клейна-Гордона, поскольку требует отрицательной вероятности^[4]. Также ковариантные гамильтоновы уравнения поля Де Дондера–Вейля^[англ.] могут быть сформулированы в терминах ДКП-матриц^[8].

История

Алгебра Дэффина — Кеммера — Петье была введена в науку в 1930-х годах Р. Дэффином^[9], Н. Кеммером^[10] и Д. Петье^[11],

Дальнейшее чтение

• M. C. B. Fernandes, J. D. M. Vianna: On the generalized phase space approach to Duffin-Kemmer-Petiau particles, Foundations of Physics, vol. 29, no. 2, pp. 201—219, 1999, doi:10.1023/A:1018869505031(abstract)
• Marco Cezar B. Fernandes, J. David M. Vianna: On the Duffin-Kemmer-Petiau algebra and the generalized phase space, Brazilian Journal of Physics, vol. 28 n. 4, São Paulo, December 1998, ISSN 0103-9733, doi:10.1590/S0103-97331998000400024 (full text Архивная копия от 10 сентября 2020 на Wayback Machine)
• Pavel Winternitz et al. (eds.): Symmetry in physics: in memory of Robert T. Sharp, CRM Proceedings and Lecture Notes, 2004, ISBN 0-8218-3409-6, section «Bhabha and Duffin-Kemmer-Petiau equations: spin zero and spin one», p. 50 ff.
• V. Ya. Fainberg, B. M. Pimentel: Duffin-Kemmer-Petiau and Klein-Gordon-Fock Equations for Electromagnetic, Yang-Mills and external Gravitational Field Interactions: proof of equivalence, hep-th/0003283, submitted 30. March 2000