Уравнение Мещерского

Термин «Мещерский» имеет также другие значения.

Уравне́ние Меще́рского — основное уравнение в механике тел переменной массы, полученное И. В. Мещерским в 1897 году^[1] для материальной точки переменной массы (состава).

Уравнение обычно записывается в следующем виде:

${\displaystyle M(t){\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=\mathbf {u} _{1}(t){\frac {dm_{1}}{dt}}-\mathbf {u} _{2}(t){\frac {dm_{2}}{dt}}+\mathbf {F} ,}$

где:

• ${\displaystyle M(t)}$ — масса материальной точки, изменяющаяся за счет обмена частицами с окружающей средой, в произвольный момент времени t;
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — скорость движения материальной точки переменной массы;
• ${\displaystyle \mathbf {F} }$ — результирующая внешних сил, действующих на материальную точку переменной массы со стороны её внешнего окружения (в том числе, если такое имеет место, и со стороны среды, с которой она обменивается частицами, например электромагнитные силы — в случае массообмена с магнитной средой, сопротивление среды движению и т. п.);
• ${\displaystyle \mathbf {u} _{1}(t)=\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} }$ — относительная скорость присоединяющихся частиц;
• ${\displaystyle \mathbf {u} _{2}(t)=\mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} }$ — относительная скорость отделяющихся частиц;
• ${\displaystyle {\frac {dm_{1}}{dt}}>0}$ и ${\displaystyle {\frac {dm_{2}}{dt}}>0}$ — скорость увеличения суммарной массы присоединившихся частиц и скорость увеличения суммарной массы отделившихся частиц соответственно.

Формула Циолковского может быть получена как результат решения этого уравнения. Величина:

${\displaystyle \mathbf {F} _{r}=\mathbf {u} _{1}{\frac {dm_{1}}{dt}}-\mathbf {u} _{2}{\frac {dm_{2}}{dt}}}$

называется «реактивной силой».

Обычно^[2][3][4] уравнение Мещерского получают, основываясь на уравнении для скорости изменения импульса системы материальных точек, имеющем вид:

${\displaystyle {\frac {d{\vec {P}}}{dt}}={\vec {F}},}$

где ${\displaystyle {\vec {P}}}$ — импульс системы, равный сумме импульсов всех материальных точек, составляющих систему, а ${\displaystyle {\vec {F}}}$ — равнодействующая всех внешних сил, действующих на тела системы. Ниже приведён вывод уравнения, использующий именно такой подход.

Вывод уравнения Мещерского

Рассмотрим тело переменной массы ${\displaystyle M=M(t)}$. Пусть за промежуток времени ${\displaystyle dt}$ к телу присоединяется малая масса ${\displaystyle dm_{1}}$, имевшая до присоединения скорость ${\displaystyle {\vec {v}}_{1}}$, и отделяется малая масса ${\displaystyle dm_{2}}$, скорость которой после отделения становится равной ${\displaystyle {\vec {v}}_{2}}$. В качестве интересующей нас системы будем рассматривать все три упомянутые тела.

В соответствии с законом сохранения импульса импульс системы в начале и конце рассматриваемого процесса одинаков:

${\displaystyle M{\vec {v}}+dm_{1}{\vec {v}}_{1}=M{\vec {v}}+d(M{\vec {v}})+dm_{2}{\vec {v}}_{2},\qquad (1)}$

где ${\displaystyle d(M{\vec {v}})}$ — изменение импульса основного тела, обусловленное как изменением его скорости, так и изменением его массы.

Учитывая, что ${\displaystyle d(M{\vec {v}})=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}}$, из (1) получаем:

${\displaystyle dm_{1}{\vec {v}}_{1}=dM{\vec {v}}+Md{\vec {v}}+dm_{2}{\vec {v}}_{2}.\qquad (2)}$

Изменение массы основного тела ${\displaystyle dM}$ связано с ${\displaystyle dm_{1}}$ и ${\displaystyle dm_{2}}$ соотношением ${\displaystyle dM=dm_{1}-dm_{2}}$, поэтому из (2) следует:

${\displaystyle dm_{1}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})=Md{\vec {v}}+dm_{2}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (3)}$

После перехода от дифференциалов к производным и перегруппировки слагаемых (3) приобретает вид:

${\displaystyle M{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {dm_{1}}{dt}}({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})-{\frac {dm_{2}}{dt}}({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}}).\qquad (4)}$

Введя относительные скорости частиц ${\displaystyle {\vec {u}}_{1}}$ и ${\displaystyle {\vec {u}}_{2}}$, равные соответственно ${\displaystyle ({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})}$ и ${\displaystyle ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})}$, и добавив равнодействующую внешних сил ${\displaystyle {\vec {F}}}$, получим уравнение Мещерского в окончательном виде.

Релятивистское уравнение Мещерского

Первыми работами^[5], посвященными исследованию движения ракет с учетом релятивистских эффектов, были работы Аккерета^[6] и Зенгера^[7].

При выводе уравнения Мещерского, пригодного для случая скоростей, сравнимых со скоростью света, используется выражение для релятивистского импульса ${\displaystyle {\vec {p}}={\frac {m{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$. В результате уравнение приобретает вид:

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {M{\vec {v}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)={\vec {v}}_{1}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{1}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right)-{\vec {v}}_{2}\cdot {\frac {d}{dt}}\left({\frac {m_{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\right).}$

В этом уравнении в общем случае не вводятся относительные скорости ${\displaystyle ({\vec {v}}_{1}-{\vec {v}})}$ и ${\displaystyle ({\vec {v}}_{2}-{\vec {v}})}$, так как в релятивистском случае сложение скоростей производится иначе.

Для случая только частиц, отделяющихся со скоростью коллинеарной скорости ракеты, это уравнение сводится к следующему виду:

${\displaystyle M{\frac {dv}{dt}}=-\left(1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right)u{\frac {dM}{dt}},}$

где ${\displaystyle u={\frac {v_{2}-v}{1-v_{2}\cdot v/c^{2}}}}$ — скорость частиц относительно ракеты.

История открытия

Уравнение движения материальной точки переменной массы для случая присоединения (или отделения) частиц было получено и основательно исследовано в магистерской диссертации И. В. Мещерского, защищенной в Петербургском Университете 10 декабря 1897 года^[8]. Первое сообщение об уравнении движения материальной точки переменной массы в общем случае одновременного присоединения и отделения частиц было сделано И. В. Мещерским 24 августа 1898 года на заседании секции математики и астрономии X съезда русских естествоиспытателей и врачей в Киеве, широкую известность оно получило позднее, после работы «Уравнения движения точки переменной массы в общем случае», напечатанной в «Известиях Петербургского политехнического института» в 1904 году^[9].

По исследованиям Г. К. Михайлова, изложенным в его докторской диссертации^[10] и работе «Георг Бюкуа и начала динамики систем с переменными массами»^[11], аналогичное уравнение было установлено чешским учёным-любителем Георгом Бюкуа (1781—1851) ещё в работах 1812—1814 гг.