Уравнение Шрёдера

Названо в честь Эрнста Шрёдера. Это уравнение на собственные значения для оператора композиции

${\displaystyle \Phi (P(z))=p\Phi (z),\ \ \ \forall z}$,

где ${\displaystyle \Phi }$ искомая неизвестная функция, ${\displaystyle p}$ фиксированное собственное число, a ${\displaystyle P}$ заданное 'ядро' оператора композиции^[1]. Уравнение применяется в нелинейной и хаотической динамике, в теории турбулентности, и в задачах, где возникают многократные функциональные композиции и самоподобные структуры^[2][3].

Решение уравнения Шрёдера

В общем случае решение выписать аналитически не удастся, поскольку уравнение так же сложно как и родственное ему Уравнение Абеля. Вот некоторые частные случаи

${\displaystyle P(z)=4z(1-z),\ \ p=4\ \ \Longrightarrow \ \ \Phi (z)=(\arcsin {\sqrt {z}})^{2},}$

${\displaystyle P(z)=2z(1-z),\ \ p=2\ \ \Longrightarrow \ \ \Phi (z)=\ln(1-2z),}$

${\displaystyle P(z)={\frac {z}{2-z}},\ \ p={\frac {1}{2}}\ \ \Longrightarrow \ \ \Phi (z)={\frac {z}{1-z}}.}$

По поводу данных примеров, и их практического значения, см.^[1][4][5][6].

Если функция ${\displaystyle P(z)}$ задана в виде ряда по степеням ${\displaystyle z}$, то зачастую возможно выписать ряд и для решения ${\displaystyle \Phi (z)}$.

Существуют некоторые общие результаты относительно существования решения уравнения Шрёдера. Например, если ${\displaystyle a}$ неподвижная (${\displaystyle P(a)=a}$) и притягивающая (${\displaystyle 0<|P'(a)|<1}$) точка для аналитического отображения ${\displaystyle P(z)}$, то уравнение Шрёдера имеет решение с собственным числом ${\displaystyle p=P'(a)}$.^[7]

Некоторые применения уравнения Шрёдера

Группа итераций.

С помощью ${\displaystyle \Phi (z)}$ можно обобщить функциональные композиции ${\displaystyle P_{t}(z)=P\circ P\circ ...\circ P(z)}$ (итерация ${\displaystyle t}$ раз) с дискретного параметра ${\displaystyle t}$ на непрерывный

${\displaystyle P_{t}(z):=\Phi ^{-1}(p^{t}\Phi (z)).}$

Например, при ${\displaystyle t=1/2}$ мы получаем функциональный квадратный корень, который удовлетворяет уравнению ${\displaystyle P_{\frac {1}{2}}(P_{\frac {1}{2}}(z))=P(z)}$.

Отношения вероятностей редких событий.

Пусть

${\displaystyle P(z)=p_{1}z+p_{2}z^{2}+p_{3}z^{3}+...,\ \ \ p_{1}\neq 0}$

производящая функция для ветвящегося процесса Гальтона-Ватсона ${\displaystyle X_{t+1}=\sum _{j=1}^{X_{t}}\xi _{j}^{(t)},\ X_{0}=1}$, в котором хотя бы одна частица выживает (${\displaystyle p_{0}=0}$). Соответственно, все ${\displaystyle \xi _{j}^{(t)}}$ независимы и одинаково распределены, с дискретной характеристической функцией ${\displaystyle P(z)}$. Тогда, если ${\displaystyle p_{1}\neq 1}$, рост популяции будет экспоненциальный. Тем не менее, вероятность того, что на каждом шаге будет лишь одна частица, не нулевая ${\displaystyle \mathbb {P} (X_{t}=1)=p_{1}^{t}\neq 0}$. Можно даже определить отношения редких событий в пределе и их генерирующую функцию

${\displaystyle \varphi _{n}:=\lim _{t\to +\infty }{\frac {\mathbb {P} (X_{t}=n)}{\mathbb {P} (X_{t}=1)}},\ \ \ \Phi (z):=\varphi _{1}z+\varphi _{2}z^{2}+\varphi _{3}z^{3}+....}$

Тогда ${\displaystyle \Phi (z)}$ будет удовлетворять уравнению Шрёдера с начальными условиями^[8][9]

${\displaystyle \Phi (P(z))=p_{1}\Phi (z),\ \ \ \Phi (0)=0,\ \ \ \Phi '(0)=1.}$

Обобщённое (интегральное) уравнение Шрёдера.

Если в предыдущем примере предположить, что на каждом шаге ветвление происходит не с фиксированными вероятностями, определяемыми единственной характеристической функцией ${\displaystyle P(z)}$, а характеристические функции выбираются случайно среди ${\displaystyle P_{r}(z)}$, где ${\displaystyle r}$ принадлежит некоторому вероятностному пространству ${\displaystyle (R,\mu )}$, то тогда уравнение для генерирующей функции отношения редких событий примет вид

${\displaystyle \int _{R}\Phi (P_{r}(z))\mu (dr)=\Phi (z)\int _{R}p_{1r}\mu (dr),\ \ \ \Phi (0)=0,\ \ \ \Phi '(0)=1.}$

В случае одноточечного вероятностного пространства, обобщённое интегральное уравнение обращается в классическое уравнение Шрёдера.