Уравнение в частных функциональных производных

Уравнение в частных функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения в частных производных на случай бесконечного множества переменных.

Уравнение в частных функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных в системе дифференциальных уравнений в частных производных^[1]:

${\displaystyle {\frac {du}{dy_{i}}}=\varphi (x_{1},x_{2},...,x_{n},y_{1},y_{2},...,y_{n},u,{\frac {du}{dx_{1}}},{\frac {du}{dx_{2}}},...,{\frac {du}{dx_{n}}})(i=1,2,...,n)}$ (1),

где: ${\displaystyle u}$ - неизвестная функция от ${\displaystyle 2n}$ переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n},y_{1},y_{2},...,y_{n}}$.

Уравнение в частных функциональных производных:

${\displaystyle U_{y(\tau )}^{'}=\Phi [x(t),y(t),U_{x(t)}^{'},U,\tau ]}$ (2),

где: ${\displaystyle U}$ - неизвестный функционал, ${\displaystyle U_{y(\tau )}^{'},U_{x(t)}^{'}}$ - функциональные производные.