Уравнение движения в неинерциальной системе отсчёта

Уравнения движения в неинерциальной системе отсчёта — уравнения движения материальной точки (1) в поле консервативных сил в классической механике, записанные в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения ${\displaystyle \mathbf {V} }$ и угловой скоростью вращательного движения ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$.

В ИСО уравнение движения Лагранжа имеет вид^[1][2]:

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} _{0}}{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }},}$

в НСО уравнение приобретает четыре дополнительных члена (так называемые «эйлеровы силы инерции»)^[3]:

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}+m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}]+2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]],}$ (1)

где:

• жирным шрифтом обозначены векторные величины, квадратными скобками — векторное умножение;
• индекс ${\displaystyle _{0}}$ относится к величинам в ИСО;
• ${\displaystyle t}$ — время;
• ${\displaystyle m}$ — масса точки;
• ${\displaystyle \mathbf {v} }$ — вектор скорости точки;
• ${\displaystyle \mathbf {r} }$ — радиус-вектор точки;
• ${\displaystyle U}$ — потенциальная энергия.

Вывод формулы

Всякое движение может быть разложено в композицию поступательного и вращательного движений^[4]. Потому переход от ИСО К₀ к НСО К может рассматриваться в виде двух последовательных шагов: вначале переход от К₀ к промежуточной системе отсчёта К' , которая движется поступательно по отношению к К₀ со скоростью ${\displaystyle \mathbf {V} }$, а затем уже к К, которая вращается относительно К' с угловой скоростью ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$.

Принцип наименьшего действия не зависит от системы координат, вместе с ним уравнения Лагранжа также применимы в любой системе координат.

Лагранжиан в К',

${\displaystyle L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}+m\mathbf {v} '\mathbf {V} +{\frac {m\mathbf {V} ^{2}}{2}}-U,}$ (2)

получается путём подстановки поступательного преобразования скорости частицы ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}=\mathbf {v} '+\mathbf {V} }$ в лагранжиан, записанный в ИСО^[5]:

${\displaystyle L_{0}={\frac {m\mathbf {v} _{0}^{2}}{2}}-U.}$

Выражения и для ИСО, и для НСО описывают эволюцию частицы в соответствующих системах отсчёта — закон сохранения энергии.

Как известно, члены, представляющие собой полные производные по времени некоторых функций, могут быть исключены из лагранжиана, так как они не влияют на уравнения движения (см. Лагранжева механика). В формуле (2) ${\displaystyle \mathbf {V} ^{2}}$ является функцией времени, и, тем самым, полной производной другой функции времени, соответствующий член может быть опущен. Поскольку ${\displaystyle \mathbf {v} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt}}}$,

${\displaystyle m\mathbf {v} '\mathbf {V} =m\mathbf {V} {\frac {d\mathbf {r} '}{dt}}={\frac {d}{dt}}(m\mathbf {V} \mathbf {r} ')-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} ',}$

где полная производная ${\displaystyle m\mathbf {V} \mathbf {r} '}$ по времени опять-таки может быть опущена. В итоге лагранжиан (2) преобразуется в

${\displaystyle L'={\frac {m\mathbf {v} '^{2}}{2}}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} '-U.}$ (3)

При переходе от К' к К (чистое вращение) скорость изменяется на ${\displaystyle [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]}$. При подстановке ${\displaystyle \mathbf {v} '=\mathbf {v} +[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]}$ в уравнение (3) образуется лагранжиан в К (учитывая, что ${\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} '}$):

${\displaystyle L={\frac {m\mathbf {v} ^{2}}{2}}+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+{\frac {m}{2}}[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]^{2}-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}\mathbf {r} -U.}$

Полный дифференциал этого лагранжиана выглядит как:

${\displaystyle dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+m\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]+m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ][\mathbf {\Omega } d\mathbf {r} ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} }$.

Применив формулу Лагранжа и изменив порядок операций в смешанном произведении векторов, дифференциал лагранжиана можно переписать в виде:

${\displaystyle dL=m\mathbf {v} d\mathbf {v} +md\mathbf {v} [\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]+md\mathbf {r} [\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]d\mathbf {r} -m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}d\mathbf {r} -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}d\mathbf {r} .}$

Частные производные лагранжиана по ${\displaystyle \mathbf {v} }$ и ${\displaystyle \mathbf {r} }$ соответственно будут:

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}=m\mathbf {v} +m[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ],}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }}=m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]+m[[\mathbf {\Omega } \mathbf {r} ]\mathbf {\Omega } ]-m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}-{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}.}$

После подстановки частных производных в стандартное уравнение движения в форме Эйлера-Лагранжа

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial \mathbf {v} }}={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} }},}$

получается формула (1).

Физический смысл

Векторное уравнение (1) описывает движение материальной точки в неинерциальной системе отсчёта (НСО), движущейся относительно инерциальной системы (ИСО) со скоростью поступательного движения и угловой скоростью вращательного движения. При этом, приложенная к телу внешняя сила, обеспечивающая поступательное движение, заменена потенциальным полем, в котором действуют консервативные силы.^[6]

При этом, движение НСО относительно ИСО называют переносным, вследствие чего, скорости, ускорения и силы, связанные с НСО, также называются переносными.^[7][8]

Выражение ${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$ — результирующий вектор суммы сил, находящихся в правой части уравнения (1)^[9].

Частная производная потенциальной энергии ${\displaystyle U}$ частицы во внешнем поле по радиусу—вектору ${\displaystyle \mathbf {r} }$ «точки приложения» сил определяет сумму всех сил, действующих со стороны внешних источников^[9],

${\displaystyle -{\frac {\partial U}{\partial \mathbf {r} }}}$.

Выражение переносной силы, действующей в однородном силовом поле, которое, в свою очередь, вызвано ускоренным поступательным движением системы, имеет вид

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {V} }{dt}}}$,

где ${\displaystyle {\frac {d\mathbf {V} }{dt}}}$ — ускорение поступательного движения системы отсчёта ${\displaystyle K'}$^[9].

«Силы инерции» в уравнении (1), обусловленные вращением системы отсчета, слагаются из трех частей.

Первая часть представляет из себя переносную силу, связанную с неравномерностью вращения системы отсчёта^[9]:

${\displaystyle m[\mathbf {r} {\frac {d\mathbf {\Omega } }{dt}}]}$.

Вторая часть

${\displaystyle 2m[\mathbf {v} \mathbf {\Omega } ]}$

является выражением силы Кориолиса. В отличие от практически всех рассматриваемых в классической механике не диссипативных сил, её величина зависит от скорости частицы^[9].

Третья часть представлена переносной центробежной силой

${\displaystyle m[\mathbf {\Omega } [\mathbf {r} \mathbf {\Omega } ]]}$.

Она лежит в плоскости, проходящей через ${\displaystyle \mathbf {r} }$ и ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$, и направлена перпендикулярно к оси вращения НСО (то есть направлению ${\displaystyle \mathbf {\Omega } }$), в сторону от оси. По величине центробежная сила равна ${\displaystyle m\rho \Omega ^{2}}$, где ${\displaystyle \rho }$ — расстояние от частицы до оси вращения.^[9]