Уравнение трёх моментов

Уравнение трёх моментов — уравнение для расчёта моментов в задаче об изгибе неразрезной многопролётной балки^[1].

Известно, что балка при наличии дополнительных опор становится статически неопределимой. Одним из методов расчёта таких балок является метод сил. С помощью данного метода выводится уравнение трёх моментов^[2]:

${\displaystyle M_{i-1}l_{i}+2M_{i}(l_{i}+l_{i+1})+M_{i+1}l_{i+1}=-6\left({\frac {\Omega _{i}a_{i}}{l_{i}}}+{\frac {\Omega _{i+1}b_{i+1}}{l_{i+1}}}\right).}$

Здесь ${\displaystyle \Omega _{i}}$ — площадь эпюры моментов i-й статически определимой балки, ${\displaystyle a_{i}}$ — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до левого конца балки, ${\displaystyle b_{i}}$ — расстояние от центра тяжести i-й эпюры до правого конца балки, ${\displaystyle l_{i}=a_{i}+b_{i}}$ — длина i-й балки.

Вывод уравнения трёх моментов предусматривает, что после введения шарниров над опорами получается статически определимая система из ${\displaystyle n}$ балок, каждая из которых представляет простую балку с опорами по концам. Неизвестные в методе сил — моменты, приложенные по концам независимых балок.

История

Мост через Сену в Аньере.
Винсент ван Гог, 1887

Впервые уравнение для расчёта неразрезных балок применил мостостроитель и путейский инженер Берто (Bertot) в 1855 г^[3]. Сам же метод применялся ранее (1849) при реконструкции моста через Сену в Аньере (пригород Парижа, ныне известный как Аньер-сюр-Сен, фр. Asnières-sur-Seine), но опубликован Клапейроном в трудах Академии наук только в 1857 г. Так как идея основной системы с неизвестными моментами над опорами впервые была высказана Клапейроном, уравнение трёх моментов связывают с его именем^[4]. Дальнейшее развитие теория неразрезных балок получила в работах Отто Мора, который обобщил теорию на случай, когда опоры расположены на разной высоте (1860).

Процедура применения

Процедура решения задачи с использованием уравнения трёх моментов такова.

1.  Балка режется на отдельные части (простые балки) дополнительными внутренними шарнирами в местах крепления опор.

Обозначения реакций образовавшихся связей: — моменты ${\displaystyle M_{0},M_{1},...,M_{n}}$.

2.  Нумеруются пролёты (участки балки между опорами). Число пролётов равно ${\displaystyle n}$. Левая консоль считается нулевым пролётом, правая имеет номер ${\displaystyle n+1}$. Длины пролётов: ${\displaystyle l_{i}}$, ${\displaystyle i=0,...,n+1}$.

3.  Из условия равновесия консольных частей определяются моменты ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle M_{n}}$. Остальные моменты являются неизвестными системы ${\displaystyle n-1}$ уравнений трёх моментов.

4.  Строятся эпюры моментов ${\displaystyle M_{p}}$ и перерезывающих сил ${\displaystyle Q_{p}}$ в пролётах и консолях (если они есть) балки от действия внешней нагрузки. Каждый пролёт представляет собой отдельную статически определимую балку.

5.  Вычисляются площади эпюр моментов ${\displaystyle \Omega _{i}}$, ${\displaystyle i=1,...,n}$ в пролётах и расстояния от центров тяжести этих площадей до левой (${\displaystyle a_{i}}$) и правой (${\displaystyle b_{i}}$) опоры соответствующего пролёта.

6.  Решение системы уравнений трёх моментов складывается с эпюрами моментов от внешней нагрузки. Полученная эпюра есть эпюра моментов в неразрезной балке.

Пример

Построить эпюру моментов в неразрезной балке длиной 19 метров с четырьмя опорами (рис. 1). На балку действует распределённая нагрузка ${\displaystyle q_{1}=10}$ кН/м, ${\displaystyle q_{2}=12}$ кН/м и сосредоточенная сила ${\displaystyle P=9}$ кН.

Рис. 1

Длина консоли: ${\displaystyle l_{0}=4}$ м. Длины пролетов: ${\displaystyle l_{1}=l_{2}=l_{3}=5}$ м. Получаем основную систему метода сил, вводя шарниры над опорами (рис. 2). Моменты ${\displaystyle M_{0}}$ и ${\displaystyle M_{3}}$ — величины известные и определяются из условия равновесия консолей. Правой консоли здесь нет, ${\displaystyle M_{3}=0}$. Для левой консоли получаем ${\displaystyle M_{0}=q_{1}l_{0}^{2}/2}$.

Рис. 2

Строим эпюры моментов от внешней нагрузки в независимых балках основной (статически определимой) системы (рис. 3). Эпюры строим на сжатом волокне (как принято в машиностроении; в строительстве и архитектуре эпюры моментов принято строить на растянутом волокне).

Рис. 3

Записываем уравнения трёх моментов:

${\displaystyle l_{1}M_{0}+2M_{1}(l_{1}+l_{2})+M_{2}l_{2}=-6(\Omega _{1}a_{1}/l_{1}+\Omega _{2}b_{2}/l_{2}),}$

${\displaystyle l_{2}M_{1}+2M_{2}(l_{2}+l_{3})+M_{3}l_{3}=-6(\Omega _{2}a_{2}/l_{2}+\Omega _{3}b_{3}/l_{3}).}$

Здесь ${\displaystyle \Omega _{1}=10.8\cdot 5/2=27,}$ ${\displaystyle a_{1}=(2+5)/3=2.333,}$ ${\displaystyle \Omega _{2}=\Omega _{3}=2fl_{2}/3=125,}$ ${\displaystyle a_{2}=b_{2}=a_{3}=b_{3}=2.5.}$ Решаем систему уравнений ${\displaystyle M_{1}=7.301}$ кНм, ${\displaystyle M_{2}=-39.325}$ кНм. Строим эпюру от этих моментов (рис. 4).

Рис. 4

Складываем (по точкам) эпюры от нагрузки (рис. 3) и от моментов (рис. 4). Получаем эпюру моментов в балке (рис. 5).

Рис. 5

Очевидным достоинством метода является простота матрицы системы линейных уравнения задачи. Эта матрица — трёхдиагональная, что позволяет применять различные упрощённые численные схемы решения.