Уравнения Дена — Соммервиля

Уравнения Дена — Сомервиля — полный набор линейных соотношений на количество граней разных размерностей у простого многогранника. Эти уравнения можно переписать для симплициальных многогранников поскольку последние двойственны к простым многогранникам.

Формулировка

Для данного простого ${\displaystyle n}$-мерного многогранника ${\displaystyle P}$ обозначим через ${\displaystyle f_{k}}$ количество граней ${\displaystyle P}$ размерности ${\displaystyle k}$; в частности, ${\displaystyle f_{n}=1}$. Рассмотрим формальную сумму

${\displaystyle \sum _{k}f_{k}\cdot (t-1)^{k}=\sum _{k}h_{k}\cdot t^{k}}$

где ${\displaystyle h_{k}=\sum _{i\geqslant k}f_{i}(-1)^{i-k}{\binom {i}{k}}}$, то есть коэффициенты ${\displaystyle h_{k}}$ возникают естественным образом при раскрытии скобок левой суммы.

Тогда уравнения Дена — Сомервиля имеют вид

${\displaystyle h_{k}=h_{n-k}}$

для каждого целого ${\displaystyle k}$.

Связанные определения

• Последовательность ${\displaystyle (f_{0},f_{1},\dots ,f_{n})}$ называется f-вектором многогранника.
• Последовательность ${\displaystyle (h_{0},h_{1},\dots ,h_{n})}$ называется h-вектором многогранника.
  • Если ${\displaystyle \ell \colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ — линейная функция общего положения, то есть все вершины многогранника ${\displaystyle P}$ лежат на разных уровнях ${\displaystyle \ell }$, тогда ${\displaystyle h_{k}}$ равно числу вершин ${\displaystyle P}$ индекса ${\displaystyle k}$; то есть ровно ${\displaystyle k}$ рёбер из этой вершины идут вниз по ${\displaystyle \ell }$. Уравнения Дена — Сомервиля получаются заменой ${\displaystyle \ell }$ на ${\displaystyle -\ell }$.
    • В дополнении получаем ${\displaystyle h_{k}\geqslant 0}$ для любого ${\displaystyle k}$, это даёт нетривиальные неравенства на ${\displaystyle f}$-вектор.

История

В размерности 4 и 5 соотношения были описаны Максом Деном^[1]. В общем случае уравнения были описаны Дунканом Сомервилем^[англ.] в 1927.