Условие Слуцкого

Условие Слуцкого (эргодическая теорема Слуцкого) — необходимое и достаточное условие эргодичности стационарного случайного процесса ${\displaystyle X}$ с корреляционной функцией ${\displaystyle \psi _{X}(\tau )}$:

${\displaystyle \lim \limits _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\int \limits _{0}^{T}\psi _{X}(\tau )d\tau =0}$.

В системах с дискретным временем условие формулируется в терминах суммирования^[1]:

${\displaystyle \lim \limits _{T\to \infty }{\frac {1}{T}}\sum \limits _{\tau =0}^{T-1}\psi _{X}(\tau )=0}$.

В условии автокорреляционная функция ${\displaystyle \psi _{X}(t,t')}$ выражена через один аргумент ${\displaystyle \tau =t-t'}$, поскольку для стационарного процесса зависит только от разности аргументов (форма центрированной корреляционной функции); она может быть с использованием математического ожидания ${\displaystyle \mathbb {E} }$ определена следующим образом^[2]:

${\displaystyle \psi _{X}(\tau )=\mathbb {E} [X(t+\tau )-\mathbb {E} X(t+\tau )][X(t)-\mathbb {E} X(t)]}$.

Установлено в 1938 году Евгением Слуцким^[3]. Результат может быть интерпретирован как форма закона больших чисел для стационарных случайных процессов^[4].