Факторалгебра

Эта статья — о конструкции для алгебр над полем. О факторалгебре в универсальной алгебре см. факторсистема.

Факторалгебра — понятие в общей алгебре, определяемое следующим образом.

Пусть ${\displaystyle \mathrm {A} }$ — алгебра над полем ${\displaystyle \mathrm {K} }$ и ${\displaystyle \mathrm {J} }$ — двусторонний идеал в алгебре ${\displaystyle \mathrm {A} }$. Рассматривая алгебру ${\displaystyle \mathrm {A} }$ как кольцо, определим факторкольцо ${\displaystyle \mathrm {A} /\mathrm {J} }$, которое можно превратить в алгебру над ${\displaystyle \mathrm {K} }$, если определить в ней умножение на элементы поля ${\displaystyle \mathrm {K} }$ по следующему правилу:

${\displaystyle k(a+\mathrm {J} )=ka+\mathrm {J} ,\quad \forall k\in \mathrm {K} ,\ \forall a\in \mathrm {A} }$.

Построенная таким образом алгебра ${\displaystyle \mathrm {A} /\mathrm {J} }$ называется факторалгеброй алгебры ${\displaystyle \mathrm {A} }$ по идеалу ${\displaystyle \mathrm {J} }$.

Пример

Важный пример факторалгебры (в алгебре формальных степенных рядов от нескольких переменных) связан с определением кратности критической точки гладкой функции.

Связанные определения

Каноническим гомоморфизмом для алгебры ${\displaystyle \mathrm {A} }$, связанным с данным идеалом ${\displaystyle \mathrm {J} }$, для которого определена факторалгебра ${\displaystyle \mathrm {A} /\mathrm {J} }$, называется гомоморфизм ${\displaystyle \mathrm {A} \to \mathrm {A} /\mathrm {J} }$ с ядром ${\displaystyle \mathrm {J} }$, определённый формулой ${\displaystyle a\mapsto a+\mathrm {J} ,\ \,\forall a\in \mathrm {A} }$.

Литература

• Винберг Э. Б. Курс алгебры. — 3-е изд.. — М.: Факториал Пресс, 2002. — 544 с. — 3000 экз. — ISBN 5-88688-060-7.