Факторгруппа

Факторгруппа — множество смежных классов группы по её нормальной подгруппе, само являющееся группой с определённой специальным образом групповой операцией.

Факторгруппа группы ${\displaystyle G}$ по нормальной подгруппе ${\displaystyle H}$ обычно обозначается ${\displaystyle G/H}$.

Образ группы при гомоморфизме изоморфен её факторгруппе по ядру этого гомоморфизма.

Определение

Пусть ${\displaystyle G}$ — группа, ${\displaystyle H}$ — её нормальная подгруппа и ${\displaystyle a\in G}$ — произвольный элемент. Тогда на классах смежности ${\displaystyle H}$ в ${\displaystyle G}$

${\displaystyle aH=\{\,ah\mid \,h\in H\}}$

можно ввести умножение:

${\displaystyle (aH)(bH)=abH}$

Легко проверить что это умножение не зависит от выбора элементов в классах смежности, то есть если ${\displaystyle aH=a'H}$ и ${\displaystyle bH=b'H}$, то ${\displaystyle abH=a'b'H}$. Это умножение определяет структуру группы на множестве классов смежности, а полученная группа ${\displaystyle G/H}$ называется факторгруппой ${\displaystyle G}$ по ${\displaystyle H}$.

Свойства

• Теорема о гомоморфизме: Для любого гомоморфизма ${\displaystyle \varphi :G\to K}$

${\displaystyle G/\mathrm {Ker} \,\varphi \cong \varphi (G)}$,

то есть факторгруппа ${\displaystyle G}$ по ядру ${\displaystyle \mathrm {Ker} \,\varphi }$ изоморфна её образу ${\displaystyle \varphi (G)}$ в ${\displaystyle K}$.

• Отображение ${\displaystyle a\mapsto aH}$ задаёт естественный гомоморфизм ${\displaystyle G\to G/H}$.
• Порядок ${\displaystyle G/H}$ равен индексу подгруппы ${\displaystyle [G:H]}$. В случае конечной группы ${\displaystyle G}$ он равен ${\displaystyle |G|/|H|}$.
• Если ${\displaystyle G}$ абелева, нильпотентна, разрешима, циклическая или конечнопорождённая, то и ${\displaystyle G/H}$ будет обладать тем же свойством.
• ${\displaystyle G/G}$ изоморфна тривиальной группе (${\displaystyle \{e\}}$), ${\displaystyle G/{e}}$ изоморфна ${\displaystyle G}$.

Примеры

• Пусть ${\displaystyle G=\mathbb {Z} }$, ${\displaystyle H=n\mathbb {Z} }$, тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$.
• Пусть ${\displaystyle G=\mathbf {UT} _{n}}$ (группа невырожденных верхнетреугольных матриц), ${\displaystyle H=\mathbf {SUT} _{n}}$ (группа верхних унитреугольных матриц), тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна группе диагональных матриц.
• Пусть ${\displaystyle G=S_{4}}$ (симметрическая группа), ${\displaystyle H=V_{4}}$ (четверная группа Клейна, состоящая из перестановок e, (12)(34), (13)(24), (14)(23)) тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна ${\displaystyle S_{3}}$.
• Пусть ${\displaystyle G=S_{n}}$ (симметрическая группа), ${\displaystyle H=A_{n}}$ (знакопеременная группа), тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$.
• Пусть ${\displaystyle G=Q_{8}}$ (группа кватернионов), ${\displaystyle H=\mathbb {Z} _{2}}$(циклическая группа, состоящая из 1, −1), тогда ${\displaystyle G/H}$ изоморфна ${\displaystyle V_{4}}$.

Вариации и обобщения

• Фактормножество
• Факторкольцо
• Факторалгебра