Фильтр (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Фильтр.

Фильтр — непустое подмножество частично упорядоченного множества, удовлетворяющее следующим двум условиям:

• если элемент ${\displaystyle x}$ входит в фильтр, то и любой элемент больший него тоже входит в фильтр;
• если два элемента ${\displaystyle x,y}$ входят в фильтр, то в него входит хотя бы один элемент ${\displaystyle z}$ такой, что ${\displaystyle z\leq x,z\leq y}$.^[1]

Понятие происходит из общей топологии, где возникают фильтры на решётке всех подмножеств какого-либо множества, упорядоченных отношением включения. Фильтр — понятие, двойственное идеалу.

Фильтры были введены Анри Картаном в 1937 году^[2][3] и впоследствии использованы Никола Бурбаки в их книге Topologie Générale как альтернатива аналогичному понятию сети, разработанному в 1922 году Э. Г. Муром и Г. Л. Смитом.

Определение в рамках теории решёток

Подмножество ${\displaystyle F}$ полурешётки ${\displaystyle L}$ называется фильтром, если:

• для всех ${\displaystyle a,b\in F}$, ${\displaystyle a\land b\in F}$;
• для всех ${\displaystyle a\in F}$ и ${\displaystyle b\in L}$ таких, что ${\displaystyle a\leqslant b}$, ${\displaystyle b\in F}$.

Фильтр называется собственным, если ${\displaystyle F\neq L}$.

Собственный фильтр такой, что не существует других собственных фильтров, его содержащих, называется ультрафильтром или максимальным фильтром.

Фильтр ${\displaystyle F}$ решётки называется простым, если в нём для всех ${\displaystyle a,b\in L}$ из того, что ${\displaystyle a\lor b\in F}$, следует, что либо ${\displaystyle a\in F}$, либо ${\displaystyle b\in F}$.

Минимальный фильтр, содержащий данный элемент ${\displaystyle x}$, называется главным фильтром, сгенерированным главным элементом ${\displaystyle x}$.

Если ${\displaystyle F}$ фильтр, то ${\displaystyle L\backslash F}$ является идеалом.

Фильтр на булевой алгебре

Фильтром на булевой алгебре ${\displaystyle M}$ называется подмножество ${\displaystyle D\subseteq M}$, для которого выполняются условия^[4]:

• ${\displaystyle D\neq \varnothing }$,
• ${\displaystyle x,y\in D\Rightarrow (x\cap y)\in D}$,
• ${\displaystyle x\in D,x\leqslant y\Rightarrow y\in D}$,
• ${\displaystyle x\in D\Rightarrow {\bar {x}}\notin D}$.

Фильтр ${\displaystyle D}$ на булевой алгебре ${\displaystyle M}$ называется ультрафильтром, если выполняется условие:

• ${\displaystyle \forall x\in M:x\in D\vee {\bar {x}}\in D}$.

Фильтр ${\displaystyle D}$ на булевой алгебре ${\displaystyle M}$ называется простым, если он удовлетворяет условию:

• ${\displaystyle \forall x,y\in M:(x\cup y)\in D\Rightarrow x\in D\vee y\in D}$.

Фильтр ${\displaystyle D}$ на булевой алгебре ${\displaystyle M}$ называется максимальным, если он не содержится ни в каком другом фильтре на ${\displaystyle M}$.

Фильтры на множествах

Частным случаем фильтра является фильтр на множестве. Для каждого множества ${\displaystyle X}$ можно определить решётку его подмножеств ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\subseteq )}$. Тогда фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ на ${\displaystyle X}$ определяется как подмножество ${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$, удовлетворяющее следующим условиям^[5]:

• ${\displaystyle {\mathfrak {F}}\neq \varnothing }$
• ${\displaystyle \varnothing \notin {\mathfrak {F}}}$
• пересечение любых двух элементов ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ лежит в ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$
• надмножество любого элемента ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ лежит в ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$

Фильтр вида ${\displaystyle {\mathfrak {F}}_{Z}=\{Y\in {\mathcal {P}}(X)\mid Z\subseteq Y\}}$ называется фильтром, порожденным множеством ${\displaystyle Z}$. Фильтр, порожденный множеством из одного элемента, называется главным. Главный фильтр является ультрафильтром.

База фильтра

Пусть ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ — фильтр на множестве ${\displaystyle X}$. Семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ подмножеств ${\displaystyle B\subset {\mathfrak {F}}}$ называется базой (базисом) фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, если любой элемент фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ содержит некоторый элемент базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, то есть для любого ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {F}}}$ существует ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ такое, что ${\displaystyle B\subset Y}$. При этом фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ совпадает с семейством всевозможных надмножеств множеств из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$. В частности, фильтры, имеющие общую базу, совпадают. Говорят также, что база ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ порождает фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$

Для того, чтобы семейство ${\displaystyle {\mathfrak {B}}=\{B\}}$ подмножеств множества ${\displaystyle X}$ являлось базой некоторого фильтра на ${\displaystyle X}$ необходимо и достаточно выполнение следующих условий (аксиом базы):

• ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\neq \varnothing }$;
• ${\displaystyle \varnothing \not \in {\mathfrak {B}}}$;
• для любых ${\displaystyle A,B\in {\mathfrak {B}}}$ существует ${\displaystyle C\in {\mathfrak {B}}}$ такое, что ${\displaystyle A\cap B\supset C}$.

Две базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ называются эквивалентными, если любой элемент ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ содержит в себе некоторый элемент ${\displaystyle B'\in {\mathfrak {B}}'}$, и наоборот, любой элемент ${\displaystyle B'\in {\mathfrak {B}}'}$ содержит в себе некоторый элемент ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$.

Эквивалентные базы порождают один и тот же фильтр. Среди всех баз, эквивалентных данной базе ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ существует максимальная по включению база, а именно, порождаемый этой базой фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$. Таким образом, между классами эквивалентных баз и фильтрами существует естественное взаимно-однозначное соответствие.

Сравнение фильтров

Пусть на множестве ${\displaystyle X}$ заданы два фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$. Говорят, что фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ мажорирует фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ (${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ сильнее ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ тоньше ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$), если ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'\supset {\mathfrak {F}}}$. В этом случае также говорят, что фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ мажорируется фильтром ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$ (${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ слабее ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$, ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ грубее ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$).

Говорят, что база ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ сильнее базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, и записывают ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}}$, если любой элемент ${\displaystyle B\in {\mathfrak {B}}}$ содержит в себе некоторый элемент ${\displaystyle B'\in {\mathfrak {B}}'}$. База ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ сильнее базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ тогда и только тогда, когда фильтр ${\displaystyle {\mathfrak {F}}'}$, порожденный базой ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$, сильнее фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, порожденного базой ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

Базы ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'}$ эквивалентны тогда и только тогда, когда одновременно ${\displaystyle {\mathfrak {B}}'\geqslant {\mathfrak {B}}}$ и ${\displaystyle {\mathfrak {B}}\geqslant {\mathfrak {B}}'}$.

Фильтры в топологических пространствах

Пусть ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$ — топологическое пространство и ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$ — фильтр на множестве ${\displaystyle X}$. Точка ${\displaystyle a\in X}$ называется пределом фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, если любая окрестность ${\displaystyle V(a)}$ точки ${\displaystyle a}$ принадлежит фильтру ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$. Обозначение: ${\displaystyle a\in \lim {\mathfrak {F}}}$. Если ${\displaystyle a}$ является единственным пределом фильтра, то также пишут ${\displaystyle a=\lim {\mathfrak {F}}}$.

Для фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, порожденного базой ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$, точка ${\displaystyle a}$ является его пределом тогда и только тогда, когда любая окрестность ${\displaystyle V(a)}$ целиком содержит некоторое множество из ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$.

В хаусдорфовом топологическом пространстве фильтр может иметь не более одного предела. Верно и обратное: если каждый фильтр имеет не более одного предела, то пространство хаусдорфово.

Точка ${\displaystyle a\in X}$ называется предельной точкой (точкой прикосновения, частичным пределом) фильтра ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, если ${\displaystyle a}$ принадлежит замыканию любого множества из ${\displaystyle {\mathfrak {F}}}$, то есть ${\displaystyle a\in {\overline {Y}}}$ для всех ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {F}}}$. Равносильно, для любой окрестности ${\displaystyle V(a)}$ точки ${\displaystyle a}$ и для любого ${\displaystyle Y\in {\mathfrak {F}}}$ выполнено ${\displaystyle V(a)\cap Y\neq \varnothing }$. Любая предельная точка ультрафильтра является его пределом.

В компактном топологическом пространстве любой фильтр имеет предельную точку, а любой ультрафильтр имеет предел.

Примеры

• Множество всех окрестностей точки топологического пространства является фильтром;
• Если ${\displaystyle X}$ — бесконечное множество, то множество дополнений конечных множеств является фильтром. Такой фильтр называется конечным фильтром или фильтром Фреше.
• Если ${\displaystyle X}$ — бесконечное множество мощности ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$, то множество дополнений множеств мощности ${\displaystyle <{\mathfrak {m}}}$ тоже является фильтром.

См. также

• Предел функции вдоль фильтра
• Ультрафильтр
• Чехстоунова компактификация