Флексагон

Флексагоны (от англ. to flex, лат. flectere — складываться, сгибаться, гнуться и греч. ωνος — угольник) — плоские модели из полосок бумаги, способные складываться и сгибаться определённым образом. При складывании флексагона становятся видны поверхности, которые ранее были скрыты в конструкции флексагона, а прежде видимые поверхности уходят внутрь.

Флексагон в процессе разворачивания.

Многие флексагоны имеют квадратную (тетрафлексагоны) или шестиугольную (гексафлексагоны) форму. Впрочем, существуют флексагоны других форм, включая прямоугольные и кольцевые.

Для различения плоскостей на секторы флексагона наносят цифры, буквы, элементы изображения или просто окрашивают в определённый цвет.

История

Первый флексагон был открыт в 1939 году английским студентом Артуром Стоуном, изучавшим тогда математику в Принстонском университете в США. Бумага формата Letter была слишком широкой и не умещалась в скоросшиватель, предназначенный для бумаги формата A4. Стоун обрезал края бумаги и из получившихся полосок стал складывать различные фигуры, одна из которых оказалась тригексафлексагоном^[1][2].

Вскоре был создан «Флексагонный комитет», в который вошли, кроме Стоуна, аспирант-математик Бриан Таккерман, аспирант-физик Ричард Фейнман и преподаватель математики Джон У. Тьюки^[2].

К 1940 году Фейнман и Тьюки разработали теорию флексагонов, заложив тем самым основания для всех последующих исследований. Теория не была опубликована полностью, хотя отдельные её части впоследствии были открыты заново^[2]. Нападение на Пёрл-Харбор приостановило работу «Флексагонного комитета», а война вскоре разбросала всех четырёх его учредителей в разные стороны^[3].

Популярность флексагоны получили после появления в декабрьском номере журнала «Scientific American» за 1956 год первой колонки Мартина Гарднера «Mathematical Games», посвящённой гексафлексагонам^[4][5].

Флексагоны неоднократно были запатентованы в виде игрушек, но не получили широкого коммерческого распространения^[6][7].

Виды флексагонов

Поверхности флексагона могут состоять из равносторонних или равнобедренных треугольников, квадратов, пятиугольников и т. д. Флексагон может допускать появление определённого числа поверхностей; некоторые из них могут быть аномальными (т. е. включающими в себя секторы с разными цифрами). Флексагон заданной формы с заданным количеством плоскостей может быть изготовлен из разных развёрток. Более того, даже одна и та же развёртка может допускать разные варианты сворачивания^[3][8].

Наименования флексагонов

Названия многих флексагонов образованы по принципу «приставка (число поверхностей) + приставка (форма) + „флексагон“». Таким образом, первая приставка обозначает, сколько у флексагона поверхностей, которые могут рано или поздно раскрыться, а вторая — на сколько частей разделена каждая такая поверхность. Например, тетратетрафлексагон — это флексагон с четырьмя поверхностями, каждая из которых состоит из четырёх квадратов; гексагексафлексагон — флексагон с шестью поверхностями, каждая из которых состоит из шести треугольников; додекагексафлексагон — флексагон с двенадцатью («додека») поверхностями, каждая из которых состоит из шести («гекса») секторов, и т. д.^[9]

Впрочем, общепринятой системы наименований для флексагонов нет. Мартин Гарднер использовал термины «тетрафлексагон» и «гексафлексагон» для обозначения флексагонов, состоящих из квадратов и треугольников соответственно, причём поверхности тетрафлексагона могли состоять из четырёх или шести квадратов^[3]. В книге Flexagons Inside Out флексагоны обозначаются по форме секторов (квадратный, пятиугольный и т. п.)^[10][11]

В более позднее время окта- и додекафлексагонами стали называть флексагоны с 8 и 12 треугольными секторами соответственно^[8]. Если секторы поверхностей флексагона представляют собой правильные или равнобедренные треугольники, то помимо гексафлексагонов существуют треугольные тетра-, пента-, гепта-, октафлексагоны^[11].

В журналах «Наука и жизнь» использовалась в основном система приставок ИЮПАК^{[12][13][14][15]}.

Гексафлексагоны

Гексафлексагоны

Гексафлексагон — это флексагон, имеющий форму правильного шестиугольника. Каждая поверхность флексагона состоит из шести треугольных секторов.

Существует множество гексафлексагонов, различающихся по числу поверхностей. Известны гексафлексагоны с тремя, четырьмя, пятью, шестью, семью, девятью, двенадцатью, пятнадцатью, сорока восемью поверхностями; количество плоскостей ограничено лишь тем, что бумага имеет ненулевую толщину^{[9][1][3][16][17]}.

Число видов гексафлексагонов быстро растёт с увеличением числа его поверхностей: существуют 3 вида гексагексафлексагона, 4 вида гептагексафлексагона, 12 видов октагексафлексагонов, 27 видов эннагексафлексагонов и 82 вида декагексафлексагона^[3][18].

Тригексафлексагон

Соответственно названию, тригексафлексагон — это шестиугольный флексагон с тремя поверхностями. Это самый простой из всех гексафлексагонов (не считая унагексафлексагона и дуогексафлексагона). Он представляет собой сплющенную ленту Мёбиуса^[1][3]. Тригексафлексагон можно свернуть из полоски бумаги, разделённой на десять равносторонних треугольников^[16][1]. Складывание тригексафлексагона осуществляется методом^[16][1][19], носящим название pinch flex^[20], с поворотом на 60° после каждого складывания.

Гексагексафлексагон

Гексагексафлексагон — флексагон с шестью шестиугольными поверхностями. Гексагексафлексагон можно изготовить из полоски длиной в 19 треугольников^[9][19][17].

Тетрафлексагоны

Внешние видеофайлы
Флексагоны
	7 sided square tetraflexagon Scott Sherman

Простейший тетрафлексагон (флексагон с квадратными поверхностями) — тритетрафлексагон, имеющий три поверхности. В любой момент видимыми являются лишь две из трёх поверхностей.

Более сложные гексатетрафлексагон и декатетрафлексагон собираются из крестообразной развёртки без использования клея^[12]. Тетрафлексагоны с числом плоскостей 4n + 2 также можно изготавливать из квадратных рамок^[3].

Из зигзагообразных полосок бумаги можно изготовить тетратетрафлексагон и другие тетрафлексагоны с числом плоскостей, кратным 4^[21].

Кольцевые флексагоны

Кольцевой флексагон — флексагон, поверхность которого представляет собой «кольцо» из многоугольников. Для наименования кольцевых флексагонов может быть использована приставка «цирко», например, пентациркодекафлексагон — кольцевой флексагон с пятью плоскостями, состоящими из десяти многоугольников (пятиугольников) каждая^[22]; тригемициркогексафлексагон — флексагон с тремя поверхностями, каждая из которых представляет собой кольцо (цирко) из половинок (геми) правильных шестиугольников (гекса)^[14].

Путь Таккермана

Диаграмма пути Таккермана для гексагексафлексагона

Простой способ обнаружить все поверхности гексафлексагона — обход Таккермана — заключается в том, чтобы держать флексагон за один угол и раскрывать модель до тех пор, пока она не перестанет раскрываться, затем повернуть флексагон на 60° по часовой стрелке, взяться за соседний угол и повторить то же самое^[19][17].

При обходе Таккермана плоскости гексагексафлексагона будут раскрываться в порядке: 1,2,5,1,2,3,4,2,3,1,6,3 (или в обратном порядке), после чего последовательность повторится. Эту последовательность называют путём Таккермана^[19][17].

Методы складывания («флексы»)

Гексафлексагоны

Внешние видеофайлы
Флексагоны
(Методы складывания)
	5 sided Hexaflexagon Scott Sherman Flexagons. Демонстрация «флексов» на примере пентагексафлексагона

Описанный выше метод складывания гексафлексагона, используемый для обхода всех плоскостей (пути Таккермана), носит название pinch flex^[20]. Существуют следующие методы складывания гексафлексагонов:

• pinch flex^[20] (выполним на гексафлексагонах с тремя и более плоскостями)
• v-flex^[23][24] (выполним на гексафлексагонах с четырьмя и более плоскостями)
• tuck flex^[25], «лодочка-гексаэдр»^[19] (выполним на гексафлексагонах с четырьмя плоскостями и более)

и др.^[26]

Аномалии

Плоскость флексагона (совокупность секторов), на которой присутствуют разные цифры, называется аномальной плоскостью, а флексагон с видимой аномальной плоскостью (в аномальном положении) — аномальным флексагоном^[19][17][27]. Появление аномальных плоскостей возможно на флексагонах достаточно высокого порядка, например, на гексагексафлексагоне^[19], додекагексафлексагоне^[27]. Простейшим гексафлексагоном, допускающим появление аномалий, является тетрагексафлексагон^[22]. Для достижения аномальных плоскостей используются методы складывания, отличные от «стандартного» pinch flex^[19].

См. также

• Геометрическая теория групп
• Предел складывания бумаги
• Оригами
• Изгибаемый многогранник