Формула Клейна — Нисины

Фо́рмула Кле́йна — Ниси́ны — формула, описывающая древовидную часть полного сечения комптоновского рассеяния света на электроне. Установлена Оскаром Клейном и Ёсио Нисиной в 1928 году.

Распределение Клейна — Ниcины интенсивности рассеяния фотонов в зависимости от угла рассеивания для разных энергий. Видимый свет (2,75 эВ) рассеивается вперед и назад одинаково по всем углам и образует излучение солнечной короны видимое во время полного солнечного затмения. Это рассеяние очень хорошо описывается классической электродинамикой (томсоновское рассеяние).
Рентгеновские лучи (60 кэВ), испускаемые при переходе в электронных оболочках L в K в вольфрамовых мишенях в рентгеновских аппаратах будут более рассеиваться вперед через тело пациента, хотя рассеяние назад также будет происходить.
Фотоны возникающие в результате аннигиляции позитронов (511 кэВ) менее вероятно рассеиваются назад.
Фотоны возникающие при распаде калия-40 (1,460 МэВ), рассеиваются в основном вперед и с малой вероятностью назад.
Гамма-всплески галактических гамма-источников (10 МэВ) рассеиваются почти исключительно вперед.

Рассеяние электромагнитных волн на заряженных частицах, при котором падающая и рассеянная волна имеют разные частоты, называется комптоновским рассеянием. Дифференциальное и полное сечение такого рассеяния рассчитывается в квантовой электродинамике. Оно наблюдается при рассеянии рентгеновских лучей на электронных оболочках атомов и рассеянии гамма-лучей на электронах и атомных ядрах.

Изменение длины волны ${\displaystyle \Delta \lambda }$ при комптоновском рассеянии определяется формулой:

${\displaystyle \Delta \lambda =2\lambda _{0}\sin ^{2}(\theta /2),}$

${\displaystyle \lambda _{0}=h/m_{0}c,}$

${\displaystyle \lambda _{0}=2{,}426\cdot 10^{-12}}$ м,

где ${\displaystyle \lambda _{0}}$ — комптоновская длина волны электрона,

${\displaystyle \theta }$ — угол между направлением падающей и рассеянной волнами,

${\displaystyle h}$ — постоянная Планка,

${\displaystyle m_{0}}$ — масса электрона,

${\displaystyle c}$ — скорость света.

Частота излучения ${\displaystyle \omega ^{\prime }}$ после рассеяния определяется формулой Комптона:

${\displaystyle \omega ^{\prime }={\frac {\omega }{1+\varepsilon (1-\cos \theta )}}}$,

где ${\displaystyle \varepsilon =\hbar \omega /m_{0}c^{2},}$ ${\displaystyle \hbar =h/2\pi ,}$

${\displaystyle \omega }$ — частота падающей волны.

Полное сечение комптоновского рассеяния на свободном электроне^[1]:

${\displaystyle \sigma _{k}=2\pi r_{0}^{2}\left[{\frac {1+\varepsilon }{\varepsilon ^{2}}}\left({\frac {2+2\varepsilon }{1+2\varepsilon }}-{\frac {\operatorname {ln} (1+2\varepsilon )}{\varepsilon }}\right)+{\frac {\operatorname {ln} (1+2\varepsilon )}{2\varepsilon }}-{\frac {1+3\varepsilon }{(1+2\varepsilon )^{2}}}\right].}$

Формула подтверждается экспериментально обнаруженным отклонением рассеяния фотонов на электронах при высоких энергиях от низкоэнергетичного томсоновского рассеяния, описываемого в рамках классической электродинамики (см. рисунок). Если энергия ${\displaystyle \hbar \omega }$ падающего фотона значительно меньше массы электрона ${\displaystyle m_{0}c^{2}}$, то есть ${\displaystyle \hbar \omega \ll m_{0}c^{2},}$ или ${\displaystyle \lambda \gg \lambda _{0},}$ где ${\displaystyle \lambda _{0}}$ — комптоновская длина волны электрона, то ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0,}$ и формула Клейна — Нисины сводится к классической формуле Томсона (в частности, отношение частот падающей и рассеянной волн ${\displaystyle \omega /\omega ^{\prime }=1+\varepsilon (1-\cos \theta )}$ при этом теряет угловую зависимость и стремится к единице).

При высоких энергиях, когда ${\displaystyle \hbar \omega \gg m_{0}c^{2}}$, формула для полного сечения приобретает вид:

${\displaystyle \sigma _{k}={\frac {\pi r_{0}^{2}}{\varepsilon }}\left({\frac {1}{2}}+\operatorname {ln} (2\varepsilon )\right)=\pi r_{0}^{2}{\frac {m_{0}c^{2}}{\hbar \omega }}\left(\operatorname {ln} \;{\frac {2\hbar \omega }{m_{0}c^{2}}}+{\frac {1}{2}}\right)}$.

Интенсивность ${\displaystyle I^{\prime }}$ рассеянного излучения на расстоянии ${\displaystyle R}$ от центра рассеяния связана с интенсивностью ${\displaystyle I}$ падающей волны и отношением частот ${\displaystyle \omega ^{\prime }/\omega }$ соотношением

${\displaystyle I^{\prime }={\frac {I}{R^{2}}}{\frac {\omega ^{\prime }}{\omega }}{\frac {d\sigma }{d\Omega }},}$

где ${\displaystyle {\frac {d\sigma }{d\Omega }}}$ — дифференциальное сечение рассеяния.