Формула Лейбница (производной произведения)

У этого термина существуют и другие значения, см. Формула Лейбница.

Формула Лейбница для ${\displaystyle n}$-ой производной произведения двух функций — обобщение правила дифференцирования произведения (и отношения) двух функций на случай ${\displaystyle n}$-кратного дифференцирования.

Пусть функции ${\displaystyle f(z)}$ и ${\displaystyle g(z)}$ — ${\displaystyle n}$ раз дифференцируемые функции, тогда

${\displaystyle \left(f\cdot g\right)^{(n)}=\sum \limits _{k=0}^{n}{C_{n}^{k}f^{(n-k)}g^{(k)}},}$ где ${\displaystyle C_{n}^{k}={n \choose k}={{n!} \over {k!\;(n-k)!}}}$ — биномиальные коэффициенты.

Примеры

При ${\displaystyle n=1}$ получается известное правило производной произведения:

${\displaystyle (f\cdot g)'={f'g}+{fg'}.}$

В случае ${\displaystyle n=2}$ имеем:

${\displaystyle (f\cdot g)''=\sum \limits _{k=0}^{2}{C_{2}^{k}f^{(2-k)}g^{(k)}}={f''g}+{2f'g'}+{fg''}.}$

В случае ${\displaystyle n=3}$:

${\displaystyle (f\cdot g)'''=\sum \limits _{k=0}^{3}{C_{3}^{k}f^{(3-k)}g^{(k)}}={f'''g}+{3f''g'}+{3f'g''}+{fg'''}.}$

В случае ${\displaystyle n=4}$:

${\displaystyle (f\cdot g)^{(4)}=\sum \limits _{k=0}^{4}{C_{4}^{k}f^{(4-k)}g^{(k)}}={f^{(4)}g}+{4f^{(3)}g^{(1)}}+{6f^{(2)}g^{(2)}}+{4f^{(1)}g^{(3)}}+{fg^{(4)}}.}$

Доказательство и обобщение

Доказательство формулы осуществляется по индукции с использованием правила произведения. В мультииндексной записи формула может быть записана в более общем виде:

${\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum _{\{\beta \,:\,\beta \leq \alpha \}}{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\alpha -\beta }f)(\partial ^{\beta }g).}$

Эта формула может быть использована для получения выражения для композиции дифференциальных операторов. В самом деле, пусть P и Q — дифференциальные операторы (с коэффициентами, которые дифференцируемы достаточное число раз) и ${\displaystyle R=P\circ Q}$. Если R также является дифференциальным оператором, то справедливо равенство:

${\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}$

Непосредственное вычисление дает:

${\displaystyle R(x,\xi )=\sum _{\alpha }{1 \over \alpha$ !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}

Эта формула также известна как формула Лейбница.

Литература

• Шипачев В. С. Основы высшей математики: Учебное пособие для вузов / Под ред. акад. А. Н. Тихонова. — М.: Высшая школа, 1989. — 479 с. — ISBN 5-06-000048-6.
• Зорич В. А. Математический анализ. Часть 1. — 2-e. — М.: ФАЗИС, 1997. — 554 с. — ISBN 5-7036-0031-6.