Формула Лиувилля — Остроградского

Формула Лиуви́лля-Острогра́дского — формула, связывающая определитель Вронского (вронскиа́н) для решений дифференциального уравнения и коэффициенты в этом уравнении.

Пусть есть дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle y^{(n)}+P_{1}(x)y^{(n-1)}+P_{2}(x)y^{(n-2)}+...+P_{n}(x)y=0,}$

тогда ${\displaystyle W(x)=W(x_{0})e^{-\int \limits _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }=Ce^{-\int P_{1}(x)dx},}$ где ${\displaystyle W(x)}$ — определитель Вронского

Для линейной однородной системы дифференциальных уравнений

${\displaystyle y'(x)=A(x)y(x),}$ где ${\displaystyle A(x)}$ — непрерывная квадратная матрица порядка ${\displaystyle n}$, справедлива формула Лиувилля-Остроградского

${\displaystyle W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\mathop {\rm {tr}} A(\zeta )d\zeta },}$ где ${\displaystyle \mathop {\rm {tr}} A(x)}$ — след матрицы ${\displaystyle A(x)}$

Правило дифференцирования определителя размерности 2

Производная определителя ${\displaystyle \Delta =\Delta (x)={\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)\end{vmatrix}}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}}$ по переменной х имеет вид ${\displaystyle {\frac {d\Delta }{dx}}=(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})'=a_{11}'a_{22}+a_{11}a_{22}'-a_{12}'a_{21}-a_{12}a_{21}'={\begin{vmatrix}a_{11}'&a_{12}'\\a_{21}&a_{22}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}'&a_{22}'\end{vmatrix}}}$

Правило дифференцирования определителя размерности n {\displaystyle n}

Пусть ${\displaystyle \Delta =\Delta (x)=\det \left({\begin{matrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{matrix}}\right)}$

Тогда для производной ${\displaystyle \Delta '(x)}$ верно

${\displaystyle \Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{11}'(x)&a_{12}'(x)&\dots &a_{1n}'(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}'(x)&a_{22}'(x)&\dots &a_{2n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}'(x)&a_{n2}'(x)&\dots &a_{nn}'(x)\\\end{vmatrix}}}$

(в ${\displaystyle i}$-м слагаемом продифференцирована ${\displaystyle i}$-я строка)

Доказательство

Воспользуемся формулой полного разложения определителя

${\displaystyle \Delta (x)=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)}$

Сумма взята по всевозможным перестановкам чисел ${\displaystyle 1,2,\dots ,n}$, ${\displaystyle P(\cdot )}$ — четность перестановки.

Дифференцируя это выражение по ${\displaystyle x}$, получим

${\displaystyle {\begin{aligned}[l]\Delta '(x)&=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}{\frac {d\left(a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)\right)}{dx}}=\\&=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}\left(a_{1i_{1}}'(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)+\dots +a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}'(x)\right)=\\&=\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}a_{1i_{1}}'(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)+\\&+\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}'(x)\cdots a_{ni_{n}}(x)+\\&+\dots +\\&+\sum _{i_{1},i_{2},\dots ,i_{n}}(-1)^{P(i_{1},i_{2},\dots ,i_{n})}a_{1i_{1}}(x)a_{2i_{2}}(x)\cdots a_{ni_{n}}'(x)\end{aligned}}}$

В каждой сумме продифференцированы элементы ${\displaystyle i}$-й строки и только они. Заменив суммы определителями, получим

${\displaystyle \Delta '(x)={\begin{vmatrix}a_{11}'(x)&a_{12}'(x)&\dots &a_{1n}'(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}'(x)&a_{22}'(x)&\dots &a_{2n}'(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}(x)&a_{n2}(x)&\dots &a_{nn}(x)\\\end{vmatrix}}+\dots +{\begin{vmatrix}a_{11}(x)&a_{12}(x)&\dots &a_{1n}(x)\\a_{21}(x)&a_{22}(x)&\dots &a_{2n}(x)\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}'(x)&a_{n2}'(x)&\dots &a_{nn}'(x)\\\end{vmatrix}}}$

Доказательство для уравнения второго порядка

Пусть в уравнении ${\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=0}$ функции ${\displaystyle p(x),q(x)}$ непрерывны на ${\displaystyle [a;b]}$, а

${\displaystyle y_{1}=y_{1}(x),y_{2}=y_{2}(x)}$ — решения данного уравнения.

Продифференцировав определитель Вронского, получим

${\displaystyle {\frac {dW}{dx}}={\frac {d}{dx}}{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}'&y_{2}'\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}y_{1}'&y_{2}'\\y_{1}'&y_{2}'\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\y_{1}''&y_{2}''\end{vmatrix}}}$

Первое слагаемое равно 0, так как этот определитель содержит 2 одинаковые строки. Подставив

${\displaystyle y_{1}''=-py_{1}'-qy_{1}}$

${\displaystyle y_{2}''=-py_{2}'-qy_{2}}$

во второе слагаемое, получим

${\displaystyle {\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\-py_{1}'-qy_{1}&-py_{2}'-qy_{2}\end{vmatrix}}}$

Прибавив первую строку, домноженную на q, ко второй, получим

${\displaystyle {\frac {dW}{dx}}={\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\-py_{1}'&-py_{2}'\end{vmatrix}}=-pW}$

решения линейно независимы, поэтому

${\displaystyle W\neq 0\to {\frac {dW}{W}}=-pdx}$ — дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

Интегрируя, получим

${\displaystyle \ln |W|=-\int p(x)dx+\ln |C|\to \ln \left|{\frac {W}{C}}\right|=-\int p(x)dx\to W=Ce^{-\int p(x)dx}}$

Доказательство для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть вектор-функции ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{1}(x),{\mathbf {y} }_{2}(x),\dots ,{\mathbf {y} }_{n}(x)}$ — решения линейной системы ОДУ. Введем матрицу ${\displaystyle \Phi }$ следующим образом

${\displaystyle \Phi (x)=\left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}(x)&{\mathbf {y} }_{2}(x)&\dots &{\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\right\|}$

Тогда ${\displaystyle W(x)\equiv \det \Phi (x)}$. Воспользуемся тем, что ${\displaystyle y_{i}(x)}$ — решения системы ОДУ, то есть ${\displaystyle {\mathbf {y} }_{i}'(x)=A(x){\mathbf {y} }_{i}(x)}$.

В матричном виде последнее представимо в виде ${\displaystyle \left\|{\begin{matrix}{\mathbf {y} }_{1}'(x)&{\mathbf {y} }_{2}'(x)&\dots &{\mathbf {y} }_{n}'(x)\end{matrix}}\right\|=\left\|{\begin{matrix}A(x){\mathbf {y} }_{1}(x)&A(x){\mathbf {y} }_{2}(x)&\dots &A(x){\mathbf {y} }_{n}(x)\end{matrix}}\right\|=A(x)\Phi (x)}$

или вводя производную от матрицы как матрицу из производных каждого элемента

${\displaystyle \Phi '(x)=A(x)\Phi (x)}$

Пусть ${\displaystyle \varphi _{i}(x)}$ — ${\displaystyle i}$-я строка матрицы ${\displaystyle \Phi (x)}$. Тогда

${\displaystyle \varphi _{i}'(x)=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)}$

Последнее означает, что производная от ${\displaystyle i}$-й строки матрицы ${\displaystyle \Phi (x)}$ есть линейная комбинация всех строк этой матрицы с коэффициентами из ${\displaystyle i}$-й строки матрицы ${\displaystyle A(x)}$. Рассмотрим определитель матрицы ${\displaystyle \Phi (x)}$, в которой ${\displaystyle i}$-я строка продифференцирована. Определитель не изменится, если из ${\displaystyle i}$-й строки этой матрицы вычесть линейную комбинацию всех остальных строк.

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\varphi _{i}'(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\\sum _{j=1}^{n}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)-\sum _{j\neq i}a_{ij}(x)\varphi _{j}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=\left|{\begin{matrix}\varphi _{1}(x)\\\varphi _{2}(x)\\\vdots \\a_{ii}(x)\varphi _{i}(x)\\\vdots \\\varphi _{n}(x)\\\end{matrix}}\right|=a_{ii}(x)W(x)}$

Пользуясь формулой дифференцирования определителя, получаем

${\displaystyle W'(x)=a_{11}(x)W(x)+a_{22}(x)W(x)+\dots +a_{nn}(x)W(x)=\operatorname {tr} A(x)W(x)}$

Последнее обыкновенное дифференциальное уравнение имеет решение

${\displaystyle W(x)=W(x_{0})e^{\int \limits _{x_{0}}^{x}\operatorname {tr} A(\zeta )d\zeta }}$

Доказательство для линейного дифференциального уравнения произвольного порядка

Линейное дифференциальное уравнение ${\displaystyle n}$-го порядка

${\displaystyle y^{(n)}(x)+P_{1}(x)y^{(n-1)}(x)+\dots +P_{n-1}(x)y'(x)+P_{n}(x)y(x)=0}$

эквивалентно следующей системе

${\displaystyle {\begin{aligned}y_{n-1}'(x)&=-P_{1}(x)y_{n-1}(x)-\dots -P_{n-1}(x)y_{1}(x)-P_{n}(x)y_{0}(x)\\y_{n-2}'(x)&=y_{n-1}\\\vdots \\y_{1}'(x)&=y_{2}\\y_{0}'(x)&=y_{1}\\\end{aligned}}}$

с матрицей ${\displaystyle A(x)}$ следующего вида

${\displaystyle A(x)=\left({\begin{matrix}0&1&0&\dots &0\\0&0&1&\dots &0\\0&0&\ddots &\ddots &0\\0&0&\dots &0&1\\-P_{n}(x)&-P_{n-1}(x)&\dots &-P_{2}(x)&-P_{1}(x)\\\end{matrix}}\right)}$

Вронскианы исходного уравнения и системы совпадают, а след матрицы ${\displaystyle A(x)}$ равен ${\displaystyle -P_{1}(x)}$. Подстановкой в формулу для системы получаем

${\displaystyle W(x)=W(x_{0})e^{-\int _{x_{0}}^{x}P_{1}(\zeta )d\zeta }}$

Применение формулы Лиувилля-Остроградского

Пусть известно решение ${\displaystyle y_{1}(x)}$ линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка, т. е. ${\displaystyle n=2}$. Используя формулу Лиувилля-Остроградского, возможно найти линейно независимое от него решение ${\displaystyle y_{2}(x)}$ той же системы.

Распишем вронскиан:

${\displaystyle Ce^{-\int P_{1}(x)dx}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}=W.}$

${\displaystyle {\frac {W}{y_{1}^{2}}}={\frac {y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}}{y_{1}^{2}}}=\left({\frac {y_{2}}{y_{1}}}\right)',}$ поэтому

${\displaystyle {\frac {y_{2}}{y_{1}}}=\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B}$${\displaystyle \longrightarrow y_{2}=y_{1}\left(\int {\frac {W}{y_{1}^{2}}}dx+B\right)=y_{1}\int {\frac {Ce^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx+By_{1}}$

Так как для линейной независимости ${\displaystyle y_{1}(x)}$ и ${\displaystyle y_{2}(x)}$ достаточно ${\displaystyle W\neq 0}$, приняв ${\displaystyle C=1,\,B=0}$, получим ${\displaystyle y_{2}=y_{1}\int {\frac {e^{-\int P_{1}(x)dx}}{y_{1}^{2}}}dx.}$

Пример

Пусть в уравнении ${\displaystyle y''-\mathop {\rm {tg}} x\,y'+2y=0}$ известно частное решение ${\displaystyle y_{1}=\sin x}$. Воспользовавшись формулой Лиувилля-Остроградского, получим

${\displaystyle y_{2}=\sin x\int {\frac {dx}{\sin ^{2}xe^{-\int \tan xdx}}}=\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1.}$

Тогда общее решение однородного уравнения ${\displaystyle y=C_{1}\left(\sin x\,\ln \left|\tan x+{\frac {1}{\cos x}}\right|\,-1\right)+C_{2}\sin x}$

Используемая литература

• Агафонов С. А., Герман А. Д., Муратова Т. В. Дифференциальные уравнения. Учебник для вузов. — М.: Изд-во МГТУ им. Баумана, 1999. — 366 с. — (Математика в техническом университете; Вып. VIII).
• Романко В. К. Курс дифференциальных уравнений и вариационного исчисления. — 2-е изд. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. — 344 с.