Формула Серсика

Формула Серсика — эмпирическая формула распределения поверхностной яркости в галактиках. Является более общей формулой, чем закон де Вокулёра, и хорошо описывает различные галактики и отдельные компоненты их структуры.

Вид одномерной функции Серсика при различных ${\displaystyle n}$ и одинаковых ${\displaystyle r_{e}}$ и ${\displaystyle I_{e}}$

Формула названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который её впервые использовал.

Формула

Двумерные функции Серсика для нескольких разных ${\displaystyle n}$. Для всех моделей ${\displaystyle r_{e}}$ одинаково (показано как радиус окружности внизу справа), ${\displaystyle I_{e}}$ отличается таким образом, что полная светимость всех моделей одинакова

Формула Серсика (иногда закон Серсика или закон r^1/n[1][2]) для галактик выражает зависимость между поверхностной яркостью ${\displaystyle I}$ в точке и её угловым расстоянием до центра галактики ${\displaystyle r}$. Формулу можно записать следующим образом^[3]:

${\displaystyle {\frac {I(r)}{I_{e}}}=\exp \left[-\nu _{n}\left(\left[{\frac {r}{r_{e}}}\right]^{1/n}-1\right)\right]\,,}$

где ${\displaystyle I_{e}}$ — поверхностная яркость на расстоянии ${\displaystyle r_{e}}$ от центра, которое называется эффективным радиусом, внутри которого излучается половина полной светимости галактики^[2][3].

Положительная величина ${\displaystyle n}$ называется индексом Серсика и характеризует общий вид распределения^[2][3]: при небольших ${\displaystyle n}$ распределение яркости становится более равномерным и более резко обрывается к краю, в то время как при больших ${\displaystyle n}$ в центре возникает резкий пик яркости, а во внешних частях яркость с удалением от центра убывает медленнее^[4].

Величина ${\displaystyle \nu _{n}}$ — коэффициент, выбираемый таким образом, чтобы внутри радиуса ${\displaystyle r_{e}}$ излучалась половина полной светимости галактики. Коэффициент ${\displaystyle \nu _{n}}$ не независим и связан с ${\displaystyle n}$ (см. ниже➤)^[3].

Другое распространённое представление формулы Серсика имеет вид^[3]:

${\displaystyle I(r)=I_{0}e^{-\nu _{n}\alpha ^{1/n}}\,,}$

где ${\displaystyle I_{0}}$ — центральная поверхностная яркость, а ${\displaystyle \alpha =r/r_{e}}$. Между ${\displaystyle I_{0}}$ и ${\displaystyle I_{e}}$ выполняется соотношение ${\displaystyle I_{e}=I_{0}e^{-\nu _{n}}}$^[3].

Также можно записать формулу Серсика, если использовать поверхностную яркость в звёздных величинах на квадратную секунду дуги ${\displaystyle \mu }$^[3]:

${\displaystyle \mu (r)=\mu _{0}+{\frac {2{,}5\nu _{n}}{\ln 10}}\left({\frac {r}{r_{e}}}\right)^{1/n}\,,}$

где ${\displaystyle \mu _{0}}$ — звёздная величина на квадратную секунду, соответствующая ${\displaystyle I_{0}}$. Если аналогично определить ${\displaystyle \mu _{e}}$, то будет верно ${\displaystyle \mu _{e}=\mu _{0}+2{,}5\nu _{n}/\ln 10}$^[3].

Связь между n и ν_n

По определению, ${\displaystyle \nu _{n}}$ выбирается так, чтобы внутри ${\displaystyle r_{e}}$ излучалась половина полной светимости галактики. Тогда её можно найти через функцию ${\displaystyle L(<r)}$, которая выражает полную светимость ${\displaystyle L}$ внутри круга с радиусом ${\displaystyle r}$. Функцию можно записать в виде интеграла по радиусу^[2][3]:

${\displaystyle L(<r)=\int _{0}^{r}I(R)2\pi RdR\,.}$

После раскрытия ${\displaystyle I(R)}$ и замены ${\displaystyle x=\nu _{n}(r/r_{e})^{1/n}}$ получается^[2][3]:

${\displaystyle L(<r)=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\gamma (2n,x)\,,}$

где ${\displaystyle \gamma }$ ― неполная гамма-функция, определяемая следующим образом^[2][3]:

${\displaystyle \gamma (\eta ,x)=\int _{0}^{x}e^{-t}t^{\eta -1}dt\,.}$

Функция ${\displaystyle L(<r)}$ будет равна полной светимости ${\displaystyle L_{T}}$, если ${\displaystyle r=\infty }$. С учётом того, что ${\displaystyle \gamma (\eta ,\infty )=\Gamma (\eta )}$, где ${\displaystyle \Gamma (\eta )}$ — гамма-функция^[2][3]:

${\displaystyle L_{T}=I_{0}r_{e}^{2}{\frac {2\pi n}{(\nu _{n})^{2n}}}\Gamma (2n)\,.}$

Поскольку внутри ${\displaystyle r_{e}}$ излучается половина полной светимости галактики, то можно записать уравнение^[2][3]:

${\displaystyle \Gamma (2n)=2\gamma (2n,\nu _{n})\,.}$

Получается, что ${\displaystyle \nu _{n}}$ зависит от ${\displaystyle n}$. Для данного уравнения на практике применимы численные решения, но также хорошую точность дают линейные приближения: например, в диапазоне ${\displaystyle 0{,}5<n<10}$ применимо приближение ${\displaystyle \nu _{n}=1{,}9992n-0{,}3271}$. Если галактика имеет эллиптическую, а не круговую форму, то формулы для ${\displaystyle L(<r)}$ и ${\displaystyle L_{T}}$ нужно домножить на ${\displaystyle 1-\varepsilon }$ — здесь ${\displaystyle \varepsilon =1-b/a}$ — видимая эллиптичность, а ${\displaystyle b/a}$ — отношение осей эллипса, описывающего изофоту^[2][3].

Частные случаи и сходные формулы

Формула Серсика при некоторых ${\displaystyle n}$ совпадает с другими функциями: при ${\displaystyle n=4}$ функция переходит в закон де Вокулёра, при ${\displaystyle n=1}$ — в убывающую показательную функцию, при ${\displaystyle n=0{,}5}$ — в функцию Гаусса^[5].

Профиль Эйнасто, который используется для описания распределения плотности в гало тёмной материи, математически описывается той же функцией, что и закон Серсика. Он может быть записан как пропорциональность ${\displaystyle \rho (r)\propto e^{-(r/r_{*})^{\alpha }}}$, где ${\displaystyle \rho }$ — плотность тёмной материи на расстоянии ${\displaystyle r}$ от центра, ${\displaystyle r_{*}}$ — характерный радиус, а ${\displaystyle \alpha }$ — параметр, эквивалентный ${\displaystyle 1/n}$, в то время как подобная пропорциональность для закона Серсика выглядит как ${\displaystyle I(r)\propto e^{-(r/r_{e})^{1/n}}}$^[6].

Применение

Закон Серсика хорошо описывает распределение яркости как в целых галактиках, так и в отдельных её частях. Распределение поверхностной яркости в большинстве балджей и в эллиптических галактиках невысокой яркости хорошо моделируются законом Серсика при ${\displaystyle 1<n<4}$. Для балджей с невысокой светимостью в основном подходит ${\displaystyle n=1}$, а для наиболее ярких балджей и ярких эллиптических галактик — ${\displaystyle n=4}$ (закон Вокулёра), и в среднем подходящий ${\displaystyle n}$ увеличивается с ростом светимости балджа. Для дисков галактик обычно ${\displaystyle n=1}$^[7][3][8]. Для баров закон Серсика также может использоваться — в этом случае обычно ${\displaystyle 0{,}5<n<1}$, однако нередко бывает и вне этого значения^[9][10].

С развитием компьютерных методов анализа изображений наиболее распространённым стал анализ составляющих галактик по отдельности, в том числе с использованием функции Серсика для их описания, а не апроксимация изображения галактики законом Серсика целиком^[11].

Закон Серсика является полностью эмпирическим и не следует из каких-либо теоретических соображений, хотя в численных моделях воспроизводятся распределения яркости, описываемые законом Серсика. Например, в моделях в результате слияний галактик с сопоставимыми массами получившаяся система распределения яркости близка к закону Серсика с ${\displaystyle n=4}$, в то время как распределения яркости с ${\displaystyle n=1}$ появляются в результате «спокойной» динамической эволюции^[7].

Показатель ${\displaystyle n}$ для конкретной галактики коррелирует с её морфологическим типом^[2]. Для эллиптических галактик и балджей наблюдается корреляция ${\displaystyle n}$ с множеством параметров, среди которых — светимость и размеры^[1], масса чёрной дыры в центре и центральная дисперсия скоростей^[12][13].

• Несколько галактик, для которых проводилась апроксимация распределения яркости законом Серсика, изображения SDSS (в скобках указано полученное ${\displaystyle n}$)^[14]
• 
  NGC 2976 (${\displaystyle n\approx 0{,}55}$)
• 
  NGC 428 (${\displaystyle n\approx 1{,}2}$)
• 
  M 74 (${\displaystyle n\approx 2{,}1}$)
• 
  M 81 (${\displaystyle n\approx 3{,}4}$)
• 
  M 84 (${\displaystyle n\approx 4{,}9}$)

История

Формула Серсика названа в честь аргентинского астронома Хосе Луиса Серсика, который впервые использовал её. В 1968 году он опубликовал «Атлас южных галактик» и применил свою формулу, чтобы описать распределение яркости во всех достаточно крупных галактиках атласа. Серсик также показал, что параметр ${\displaystyle n}$ коррелирует с морфологическим типом галактики^[2][3][15].

Сам Серсик рассматривал свою формулу как обобщение закона де Вокулёра, который Жерар Анри де Вокулёр предложил в 1948 году^[2].