Формула Торричелли (гидродинамика)

Не следует путать с Формула Торричелли (кинематика).

Фо́рмула Торриче́лли связывает скорость истечения идеальной жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием^[1].

Формула Торричелли утверждает, что скорость ${\displaystyle v}$ истечения идеальной жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине ${\displaystyle h}$ от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты ${\displaystyle h}$^[2], то есть

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}},}$

где ${\displaystyle g}$ — ускорение свободного падения.

Если же отверстие затоплено, то ${\displaystyle h}$ равно разности уровней жидкости перед и за отверстием^[3].

Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии ${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}}$ и потерянной потенциальной энергии ${\displaystyle mgh}$.

Для реальных жидкостей скорость истечения будет тем меньше величины ${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}$, чем больше вязкость жидкости^[4], а именно ${\displaystyle v=\varphi {\sqrt {2gh}}}$, где ${\displaystyle \varphi <1}$ - коэффициент скорости ${\displaystyle \varphi ={\frac {1}{1+\xi }}}$, где ${\displaystyle \xi }$ - коэффициент сопротивления при входе в отверстие^[3].

Для реальной жидкости расход через отверстие ${\displaystyle Q=\mu \omega {\sqrt {2gh}}}$, где ${\displaystyle \mu =\alpha \varphi }$, ${\displaystyle \alpha }$ - коэффициент сжатия струи^[3].

Эта формула была получена в словесной форме итальянским учёным Эванджелиста Торричелли в 1643 году и опубликована в его сочинении Opera geometrica, вышедшем в 1644 году, в разделе De motu aquarum^[2]. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.

Вывод

Закон Бернулли утверждает, что

${\displaystyle {\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{const}},}$

где v — это скорость жидкости, z — высота жидкости над точкой, для которой записывается уравнение Бернулли, p — давление, ρ — плотность жидкости.

Пусть отверстие находится на высоте z = 0. У поверхности жидкости в резервуаре давление p равно атмосферному. Скорость жидкости v в верхней части резервуара можно считать равной нулю, так как уровень поверхности жидкости понижается очень медленно по сравнению со скоростью истечения жидкости через отверстие. На выходе из отверстия z = 0, и p также равно атмосферному давлению. Приравнивая левые части уравнения Бернулли, записанные для поверхности жидкости в резервуаре и для жидкости на выходе из отверстия, получим:

${\displaystyle gz+{\frac {p_{\text{atm}}}{\rho }}={\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p_{\text{atm}}}{\rho }}}$

${\displaystyle \Rightarrow v^{2}=2gz}$

${\displaystyle \Rightarrow v={\sqrt {2gz}}.}$

z равно высоте h, и таким образом

${\displaystyle v={\sqrt {2gh}}.}$

Кроме того, можно прийти к тому же выводу из закона сохранения энергии, так как жидкость идеальная.