Формула монотонности

Формула монотонности — классическая теорема о минимальных поверхностях. Она утверждает в частности, что площадь пересечения минимальной поверхности без границы с шаром с центром на поверхности не может быть меньше площади круга того же радиуса.

Формулировка

Предположим ${\displaystyle M}$ есть ${\displaystyle k}$-мерная минимальная поверхность в евклидовом пространстве и ${\displaystyle p\in M}$. Обозначим через ${\displaystyle R}$ минимальное расстояние от ${\displaystyle p}$ до границы ${\displaystyle M}$.

Тогда функция

${\displaystyle r\mapsto {\frac {\mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))}{r^{m}}}}$

монотонно возрастает в интервале ${\displaystyle [0,R]}$; здесь ${\displaystyle \mathrm {S} }$ обозначает ${\displaystyle k}$-мерную площадь и ${\displaystyle B_{r}(p)}$ — шар радиуса ${\displaystyle r}$ с центром в ${\displaystyle p}$.

Следствия

• Для ${\displaystyle M}$, ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle R}$ как в формулировке выполняется неравенство

  ${\displaystyle \mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq \omega _{k}\cdot r^{m},}$

при ${\displaystyle r\leq R}$; здесь ${\displaystyle \omega _{k}}$ обозначает объём единичного шара в ${\displaystyle k}$-мерном евклидовом пространстве.

• Более того, если ${\displaystyle p}$ является точкой самопересечения то

${\displaystyle \mathrm {S} (M\cap B_{r}(p))\geq 2\cdot \omega _{k}\cdot r^{m},}$

при ${\displaystyle r\leq R}$.

Применения

• Эколм и Уайт применили формулу монотонности в доказательстве того, что минимальная поверхность натянутая на контур с вариацией поворота 4π или меньше является вложенной.
• Бренде и Хунг применили обобщённую формулу монотонности для оценки площади пересечения минимальной поверхности с шаром центр которого находится вне поверхности.

Литература

• S. Brendle, P.K. Hung. Area bounds for minimal surfaces that pass through a prescribed point in a ball (англ.) // arXiv:1607.04631 [math.DG].

• Ekholm T., White B., Wienholtz, D. Embeddedness of minimal surfaces with total boundary curvature at most 4π (англ.) // Ann. Math.. — 2002. — P. 209–234.