Формула пяти элементов (сферическая геометрия)

Формула пяти элементов в сферической тригонометрии выражает соотношение между пятью элементами сферического треугольника^[1].

Рисунок к формуле пяти элементов и её доказательству с помощью проекций.

Описание

Весь основной набор формул пяти элементов для различных углов и сторон треугольника может быть разделён на две группы:

• Формулы, связывающие три стороны и два угла, иначе называемые формулами синуса стороны на косинус угла. Вот одна из них^[2]:

${\displaystyle \sin a\cos B=\cos b\sin c-\sin b\cos c\cos A,}$

• Формулы, связывающие три угла и две стороны, иначе называемые формулами синуса угла на косинус стороны. Одна из них имеет вид:

${\displaystyle \sin A\cos b=\sin C\cos B+\cos C\sin B\cos a,}$

В формуле синуса стороны на косинус угла сторона и прилежащий к ней угол выражаются через другие две стороны и угол между ними. Для каждой стороны можно взять один из двух прилежащих углов, поэтому всего таких формул шесть.

В формуле синуса угла на косинус стороны сторона и прилежащий к ней угол выражаются через другие два угла и прилежащую к ним сторону. Таких формул — тоже шесть.

Каждая формула синуса угла на косинус стороны двойственна к одной из формул синуса стороны на косинус угла, поскольку углы и стороны всякого сферического треугольника дополняются до развёрнутого угла сторонами и углами соответствующего полярного треугольника. Поэтому достаточно доказать только формулы синуса стороны на косинус угла. Более того, две формулы синуса стороны на косинус одного прилежащего угла и синуса той же стороны на косинус другого прилежащего угла получаются совершенно аналогично. А из этих двух формул остальные четыре формулы синуса стороны на косинус угла получаются при помощи круговой перестановки букв:

${\displaystyle a\rightarrow b\rightarrow c\rightarrow a,A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow A}$

Таким образом, достаточно доказать одну из формул синуса стороны на косинус угла.

Доказательство

Доказательство проведём с помощью проекций^[1]. На рисунке показан сферический треугольник ABC на сфере радиуса R с центром в точке O. BP — перпендикуляр к плоскости большого круга, проходящего через сторону b, BM — перпендикуляр к OC, BN — перпендикуляр к OA. По утверждению, обратному теореме о трёх перпендикулярах, PM — перпендикуляр к OC, PN — перпендикуляр к OA. Заметим, что угол MPN равен b, кроме того, BM = R sin a, BN = R sin c и OM = R cos a. Далее, проецируем ломаную NOMP на прямую, содержащую NP.

${\displaystyle {\mbox{pr }}NP={\mbox{pr }}NO+{\mbox{pr }}OM+{\mbox{pr }}MP}$

${\displaystyle {\mbox{pr }}NP=NP=BN\cos A=R\sin c\cos A}$

${\displaystyle NO\perp NP\Rightarrow {\mbox{pr }}NO=0}$

${\displaystyle {\mbox{pr }}OM=OM\cos({\frac {\pi }{2}}-\angle MON)=R\cos a\sin b}$

${\displaystyle {\mbox{pr }}MP=MP\cos \angle MPN=MP\cos b=BM\cos(\pi -C)\cos b=-R\sin a\cos b\cos C}$

Подставляем четыре последних выражения в первое и получаем:

${\displaystyle \sin c\cos A=\cos a\sin b-\sin a\cos b\cos C}$

Применение

Применяя формулу пяти элементов вместе с некоторыми другими формулами сферической тригонометрии, можно, например, получить формулы преобразования между системами небесных координат: горизонтальной, экваториальной, эклиптической и галактической^[3].

История

Формула пяти элементов была выведена Леонардом Эйлером в 18 веке^[4].