Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы

Формулы сокращённого умножения многочленов

часто встречающиеся случаи умножения многочленов Из Википедии, свободной энциклопедии

Remove ads

Формулы сокращённого умножения многочленов — часто встречающиеся случаи умножения многочленов. Многие из них являются частным случаем бинома Ньютона. Изучаются в средней школе в курсе алгебры.

Формулы для квадратов

Суммиров вкратце
Перспектива
  •  — квадрат суммы или разности двух выражений
  •  — квадрат суммы трёх выражений

Разность квадратов

Разность квадратов двух чисел (многочленов) может быть представлена в виде произведения по формуле[1]:

Доказательство

Математическое доказательство закона простое. Применив распределительный закон к правой части формулы, получим:

Из-за коммутативности умножения средние члены уничтожаются:

и остаётся

Полученная идентичность — одна из наиболее часто используемых в математике. Среди множества применений она дает простое доказательство неравенства о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом для двух переменных.

Доказательство справедливо в любом коммутативном кольце.

Наоборот, если это тождество выполняется в кольце R для всех пар элементов a и b, то R коммутативно. Чтобы убедиться в этом, применим закон распределения к правой части уравнения и получим:

.

Чтобы это было равно , мы должны иметь

для всех пар a, b, поэтому R коммутативно.

Remove ads

Формулы для кубов

  • - куб суммы (разности) двух чисел
  • - сумма (разность) кубов
  • - куб суммы
Remove ads

Формулы для четвёртой степени

Remove ads

Формулы для пятой степени

Remove ads

Формулы для шестой степени

Remove ads

Формулы для седьмой степени

Remove ads

Формулы для восьмой степени

Remove ads

Формулы для девятой степени

Remove ads

Формулы для десятой степени

Remove ads

Формулы для одиннадцатой степени

Remove ads

Формулы для двенадцатой степени

Remove ads

Формулы для n-й степени

Суммиров вкратце
Перспектива
  • , где
  • , где
  • , где — чётное число
  • , где — нечётное число


Если показатель степени — составное число, то можно использовать формулы для одного из его составляющих множителей, например:

и т. д.


Если мы ограничиваемся действительными числами, то сумма или разность произвольных степеней вида () может быть выражена в виде произведения нескольких многочленов, каждый из которых имеет степень не выше 2 и имеет вид либо , либо , либо , где — некоторый коэффициент (в каждом случае свой).


Для чётных :


Для нечётных :


Если же мы работаем с комплексными числами, то то же самое может быть выражено в виде произведения нескольких многочленов степени 1 (см. ниже).

В комплексных числах

Суммиров вкратце
Перспектива

Для произвольной чётной степени:

  • , где пробегает все n возможных значений

Для произвольной нечётной степени:

  • , где пробегает все n возможных значений

Некоторые свойства формул

  • , где
  • , где

См. также

Примечания

Литература

Loading related searches...

Wikiwand - on

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Remove ads