Функции Кельвина

Функции Кельвина — группа бесселевых функций. Каждая их пара представляют решения дифференциального уравнения:

${\displaystyle x^{2}{\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+x{\frac {df}{dx}}-(ix^{2}+\nu ^{2})f=0}$

Введены Уильямом Томсоном (лордом Кельвином), который исследовал их в приложениях.

Функции Кельвина первого рода

Они определяются следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {ber} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)}$

${\displaystyle \operatorname {bei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{\frac {i\nu \pi }{2}}\cdot I_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)}$

где ${\displaystyle I_{\nu }(x)}$ — функция Инфельда

Для целых n имеет место разложения в ряд:

${\displaystyle \mathrm {bei} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}$

${\displaystyle \mathrm {ber} _{n}(x)=\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}{\frac {\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]}{k!\Gamma (n+k+1)}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}$

Функции Кельвина второго рода

Они определяются следующим образом: ${\displaystyle \operatorname {ker} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)}$

${\displaystyle \operatorname {kei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(e^{-{\frac {i\nu \pi }{2}}}\cdot K_{\nu }(x\cdot e^{\frac {i\pi }{4}})\right)}$

где ${\displaystyle K_{\nu }(x)}$ — функция Макдональда.

Для целых n имеет место разложения в ряд:

${\displaystyle \mathrm {kei} _{n}(x)=-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Bei} _{n}(x)-{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\sin \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {ker} _{n}(x)&={\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{-n}\sum _{k=0}^{n-1}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {(n-k-1)!}{k!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}-\ln \left({\frac {x}{2}}\right)\mathrm {Ber} _{n}(x)+{\frac {\pi }{4}}\mathrm {Bei} _{n}(x)\\&{}\quad +{\frac {1}{2}}\left({\frac {x}{2}}\right)^{n}\sum _{k\geq 0}\cos \left[\left({\frac {3n}{4}}+{\frac {k}{2}}\right)\pi \right]{\frac {\psi (k+1)+\psi (n+k+1)}{k!(n+k)!}}\left({\frac {x^{2}}{4}}\right)^{k}\end{aligned}}}$

Функции Кельвина третьего рода

Они определяются следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {her} _{\nu }(x)=\operatorname {Re} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi }{4}})\right)}$

${\displaystyle \operatorname {hei} _{\nu }(x)=\operatorname {Im} \left(H_{\nu }^{(1)}(x\cdot e^{\frac {3i\pi }{4}})\right)}$

где ${\displaystyle H_{\nu }^{(1)}(x)}$ — функция Ханкеля первого рода.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. Kelvin Functions (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• Кузнецов Д. С. Специальные функции. — 1962.