Функция Вебера

Функция Вебера — неэлементарная функция, которая является частным решением неоднородного уравнения Бесселя:

z^{2}{\frac {d^{2}f}{dz^{2}}}+z{\frac {df}{dz}}+(z^{2}-\nu ^{2})f=-{\frac {(z+\nu )+(z-\nu )\cos(\pi z)}{\pi }}

Интегральное выражение функции Вебера:

{\mathsf {E}}_{\nu }(z)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }\sin(\nu \theta -z\cdot \sin \theta )d\theta

{\mathsf {E}}_{\nu }(z)\cdot \sin(\pi \nu )={\mathsf {J}}_{-\nu }(z)-{\mathsf {J}}_{\nu }(z)\cdot \cos(\pi \nu )

Для целых $n\geqslant 0$ функция Вебера связана с функцией Струве соотношениями:

{\mathsf {E}}_{n}(z)={\frac {1}{\pi }}\sum _{k=0}^{\left[{\frac {n-1}{2}}\right]}{\frac {\Gamma \left(k+{\frac {1}{2}}\right)\cdot (z/2)^{n-2k-1}}{\Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}-k\right)}}-{\mathsf {H}}_{-n}(z)

Разложение в степенной ряд:

{\mathsf {E}}_{\nu }(z)=\sin {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{4^{k}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+1\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+1\right)}}-\cos {\frac {\pi \nu }{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{2^{2k+1}\Gamma \left(k+{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)\Gamma \left(k-{\frac {\nu }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.

Литература