Функция Гомперца

Кривая Гомперца или функция Гомперца, названная в честь Бенджамина Гомперца, является сигмовидной функцией. Это тип математической модели для временных рядов, где рост медленнее в начале и в конце периода. Она напоминает логистическую кривую, но не симметричную, а с более пологим правым хвостом, то есть замедление роста происходит не так быстро, как происходило его ускорение.

Графики кривых Гомперца, показывающие влияние изменения одного из параметров при сохранении других постоянными

Вариация ${\displaystyle a}$

Вариация ${\displaystyle b}$

Вариация ${\displaystyle c}$

Формула

${\displaystyle y(t)=ae^{be^{ct}}}$

где

• a верхняя асимптота ${\displaystyle ae^{be^{-\infty }}=ae^{0}=a}$
• b, c отрицательные числа (параметры роста)
• b устанавливает смещение по x
• c задаёт темп роста (масштабирование по x)
• e число Эйлера (e = 2.71828…)

Производная

Функция кривой может быть получена из закона смертности Гомперца, в котором говорится, что уровень смертности (распада) экспоненциально падает с возрастом.

${\displaystyle k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}}$

где

• ${\displaystyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$ — темп роста.
• k — произвольная постоянная.

Примеры использования

Примеры использования для кривых Гомперца включают в себя:

• Количество мобильных телефонов: пока стоимость была высокой рост был медленный, а затем период быстрого роста, а затем замедление когда было достигнуто насыщение.
• Население в ограниченном пространстве, так как уровень рождаемости сначала повышается, а затем медленно спадает по мере ограничения ресурсов.
• Моделирование роста опухоли.
• Моделирование роста википедии^[1].

См. также

• Распределение Гомперца
• Кривая роста