Функция Дирихле

Термин «Дирихле» имеет также другие значения.

Функция Дирихле́ — функция, принимающая значение единица на рациональных числах и ноль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.^[1]

Графическое представление функции Дирихле: две параллельные и, казалось бы, сплошные линии. Синяя (или красная) линия представляет собой рациональные (или иррациональные) числа, плотно расположенные в вещественных числах

Определение

Символически, функция Дирихле ${\displaystyle D:\mathbb {R} \rightarrow \{0,1\}}$ определяется следующим образом:^[2]

${\displaystyle D(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q}$ ;\\0,&x\in \mathbb {I} .\end{cases}}}

Свойства

Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функций^[3][4]:

${\displaystyle D(x)=\lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }\cos ^{2n}(m!\pi x)}$.

Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).^[5]

Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.^[6]

Не является интегрируемой в смысле Римана.^[7] Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Вариации и обобщения

Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также, «функцией Тома» (Thomae).